Mudança de base e dimensão de subespaços

Question

Estou tentando entender alguns conceitos básicos aqui. Eu tenho algum subespaço vetorial$\mathcal{V}$ e $\mathcal{W} = \{Ax \mid x \in \mathcal{V}\}$, Onde $A$é uma matriz ortogonal. É sempre verdade que$\dim(\mathcal{W}) = \dim(\mathcal{V})$? E se$\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ é uma base de $\mathcal{V}$, como podemos encontrar uma base de $\mathcal{W}$?

Answer 1

É o suficiente assumir que $A$ é invertível, o que é uma matriz ortogonal, para concluir $W=A(V)$ tem a mesma dimensão que $V$.

É porque ambos $A$ e $A^{-1}$ leva qualquer conjunto de vetores linearmente independente para um conjunto linearmente independente.

Suponha $v_1,\dots,v_k$ são independentes e $\sum_i\lambda_i\,Av_i=0$, então aplique $A^{-1}$ obter $\sum_i\lambda_iv_i=0$ então cada $\lambda_i=0$.

Answer 2

Vou assumir que você está trabalhando com subespaços de dimensão finita.

• Em geral, se $W$ é um subespaço de $V$ e $\dim (W) = \dim (V)$, então $W = V$, então qualquer base de $V$ é uma base de $W$.
• Você definiu $W$ como o espaço da coluna de $A$ (extensão das colunas de $A$) Se as colunas de$A$ são linearmente independentes, então a dimensão de $W$ é o número de colunas de $A$. Em sua situação específica,$A$ é uma matriz quadrada invertível (porque é ortogonal) com $\dim(V)$ colunas então $\dim(W) = \dim(V)$.