Mudança de sinal de desigualdade com logaritmo

Question

Por que o sinal de desigualdade muda ao aplicar um logaritmo em ambos os lados, com a base menor que $1$?

Eu me deparei com a seguinte matemática que resolvi de 2 maneiras, $$ \left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{4}\\ n\log\left(\frac{1}{2}\right)< \log\left(\frac{1}{4}\right)\\ -0.301n < -0.602 \\ n > 2 $$ O segundo método é, $$ \left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{4}\\ n\log_\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)< \log_\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{4}\right)\\ n < 2 \\ $$Agora sei que a primeira é a resposta correta, mas não entendo por que o segundo método falhou em fornecer a desigualdade correta. Alguém poderia explicar?

Outra questão geral seria, se em vez de valores eles fossem variáveis, ou seja, se $\frac{1}{2}$era A , e em vez de$\frac{1}{4}$era B , como eu tentaria resolver já que, com o primeiro método, eu não saberia se$log\left(A\right)$ foi negativo ou positivo.

Answer 1

Na segunda abordagem, a base do $\log()$ É menor que $1$, o que torna o $\log()$uma função decrescente. É por isso que o símbolo de desigualdade precisa mudar de direção.

Answer 2

Você está realmente computando:

$$n \log \frac{1}{2} < \log \frac{1}{4}$$ $$\frac{n \log 1/2}{\log 1/2} \color{red}{>} \frac{\log 1/4}{\log 1/2}$$

Desde a $\log \frac{1}{2}$é negativo e multiplicar / dividir por um número negativo inverte o sinal. Desde a$f(x) = \log x$ está aumentando monotonicamente ($x > 0$) e $\log 1 = 0$, quando a base é menor que $1$, $\log b$ é negativo e você precisará inverter o sinal.

Pela mudança da fórmula de base, isso é equivalente a:

$$n\log_\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) > \log_\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{4}\right)$$ $$n > 2$$

como você já disse.