Noções básicas sobre etapas neste problema - limites e exponenciais

Question

Eu vi esse problema de matemática e queria entender a solução. Acho que tem a ver com a diferenciação de limites, mas não tinha certeza de quais eram as regras para derivadas com expoentes que são funções e conectá-las ao Wolfram Alpha me deu respostas muito estranhas, mas posso estar errado sobre como fazer isso.

O problema começa com:

$$\lim\limits_{x_\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}\right)^{2x}=e^3$$

E queremos encontrar um.

A solução que vi começou assim:

$$\lim\limits_{x_\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}\right)^{2x}=e^{\left[\lim\limits_{x_\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}-1\right)2x\right]}$$

E eu não estava certo de como esse passo foi alcançado; a princípio pensei que era apenas definir o limite igual à potência para a qual e foi elevado, já que o limite se aproxima de 1 de qualquer maneira, mas então vi que o limite parecia ter sido diferenciado, mas eu não tinha certeza do " regra "quando você tem uma função no expoente (eu sei que diferenciar o$e^{f(x)}$ pega você $f'(x)e^{f(x)}$ e se $f(x)=a^{g(x)}$ então $f'(x) = \ln(a)(a^{g(x)}g'(x))$mas não estou muito claro sobre as etapas aqui, se essas são mesmo as regras corretas a serem aplicadas. O resto das etapas para obter a resposta, a = 3/2, fazem todo o sentido para mim, é apenas a primeira - sinto que estou perdendo algo estupidamente óbvio, ou apenas alguma regra que não consigo lembrar. Quando eu pesquisei a derivada de$f(x)^{g(x)}$ parece que devo tentar obter o método de registro dos dois lados,

$$\left(1+\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}\right)^{2x}=y$$ $$\ln\left(1+\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}\right)^{2x}=\ln y$$ $$2x\ln\left(1+\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}\right)=y'/y$$

Mas isso parece levar a algo realmente complexo, e sinto que estou saindo do caminho aqui. De qualquer forma, a ajuda é muito apreciada (novamente, suspeito que haja alguma regra simples que eu esqueci).

Answer 1

Dicas: em $2x\ln\left(1+\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}\right)$ substituto $t=1/x$ e observe que

$x \to \infty \iff t \to 0+0$.

L'Hospital!

Answer 2

Observe que $$\lim_{t\to 0}(1+t)^\frac 1t=e$$

Dado $$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}\right)^{2x}$$

Deixei $$\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}=t$$

$$\implies \lim\limits_{x\to\infty}\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}=\lim\limits_{t\to0}t$$

Conecte isso na equação dada para obter

$$\lim\limits_{t\to0}(1+t)^{t\cdot\frac{2x}{t}}=\lim\limits_{t\to0}e^{2x.t}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{2x(\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}2x(\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2})}$$

Aposto que você aguenta daqui