Noções básicas sobre propriedade da matriz PSD

Question

Por alguma razão, não consigo entender vários conceitos.

Estou lendo as provas:

O espaço da coluna de uma matriz semi-definida positiva A está contido no espaço da coluna de A + B?

Posição da soma de duas matrizes semi-definidas positivas

Não consigo entender uma linha. Suponha$X \succeq 0$é semidefinido positivo. Deixei$v \neq 0$ e suponha $v^{T}Xv=0$. O segundo e primeiro link dizem então que$v$ está então no espaço nulo de $X$, significando $Xv=0$

Por que deve ser esse o caso?

Obrigado.

Answer 1

Qualquer matriz semidefinida positiva $X$tem uma raiz quadrada semidefinida positiva $Y$, isso é, $Y^2=X$.

$X$é simétrico, portanto diagonalizável em uma base ortonormal, com autovalores não negativos. Pegue a matriz diagonal com as raízes quadradas dos autovalores, na mesma base.

Consequentemente, $0=v^TXv=v^TY^2v=v^TY^TYv=\|Yv\|^2$ implica $Yv=0$ donde $Xv=Y(Yv)=0$ também.

Answer 2

Em um nível mais fundamental, se $X$ é semidefinido positivo, $(u,v):=u^TXv$define um produto semi-interno . Conseqüentemente, ele satisfaz a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Então se$(v,v)=0$, então $|u^TXv|=|(u,v)|\le\sqrt{(u,u)(v,v)}=0$ para cada vetor $u$. Conseqüentemente$u^TXv$é identicamente zero. Desde a$u$ é arbitrário, $Xv$ deve ser o vetor zero.