Norma e ação do operador

Question

Definimos a norma do operador como $\left\lVert A \right\rVert = \sup \frac{\left\lVert A\psi \right\rVert}{ \left\lVert A \right\rVert} = \sup \left\lVert A\psi \right\rVert$ para $A ∈ L(H)$. É dito que$||A||$ mede a magnitude da ação de $A$.

O que se entende por ação de $A$ e o que é sup nesta equação?

Além disso, como podemos verificar se $A$ é limitado ou ilimitado com esta declaração?

Answer 1

Um operador é ilimitado se sua norma suprema for infinita. Isso ocorre trivialmente ao negar a definição de um operador limitado em um espaço preBanach.

"Um operador linear $A :D(A) \rightarrow X$ é chamado limitado, iff

$$\forall \psi\in D(A), \exists k\in \mathbb R, \text{so that} ||A\psi|| \leq k ||\psi||. $$

O valor máximo de $k$ sobre o domínio de A é chamada de norma suprema de A.

Answer 2

O sup na equação é um supremo sobre todos os estados do espaço de Hilbert $\mathcal{H}$. Em outras palavras, você escolhe o estado$|\psi\rangle$ fora de $\mathcal{H}$ para o qual o número $\frac{\mid\mid A|\psi\rangle\mid\mid}{\mid\mid |\psi\rangle\mid\mid}$torna-se o maior. Pode-se mostrar que a norma do operador de$A$ corresponde ao maior autovalor de $\sqrt{A^{\dagger}A}$. Como um operador atuando em$\mathcal{H}$, $A$ mapeia um estado para outro, o que pode não ser normalizado, pois você não tem garantia de $A$sendo unitário. Então você pode pensar na ação de$A$ como uma medida para "quanto" não normalizado $A|\psi\rangle$ é, dado que $|\psi\rangle$ é, ie $\langle\psi | \psi \rangle=1$.