Número de combinações possíveis

Question

Eu quero encontrar o número de combinações possíveis dos números 1,2,3,4,5 de modo que haja apenas dois números diferentes.

Minha abordagem:

Suponha que eu tenha 5 vagas para preencher $\text{_,_,_,_,_}$. Em primeiro lugar, posso ter 5 números possíveis, no segundo posso ter 4 números possíveis, no terceiro posso ter 2 números possíveis (um dos dois anteriores escolhidos), e da mesma forma, para a 4ª e 5ª posição , pode haver 2 números possíveis. Portanto, temos o número total a ser

$$5\times 4 \times 2^3 \times 5!$$

Agora precisamos descontar todas as duplicatas. Temos dois casos. Um em que temos 4 iguais (e 1 diferente) e um onde temos 3 iguais e 2 de outro. Portanto, as combinações totais devem ser$$5\times 4 \times 2^2 \times 5! (\frac{1}{2!2!} +\frac{1}{4!})$$. No entanto, isso está errado. Alguém pode me explicar porque isso está errado?

Answer 1

Suponha que houvesse apenas três espaços a serem preenchidos. Se você fosse escolher números 1e 2, em seguida, obter arranjos com exatamente 2 números diferentes, você teria seis possibilidades.

112 121 211 122 212 221

O número de arranjos pode ser escrito como $2^3 - 2 = 8-2 = 6,$porque 111e 222, tendo apenas um dos números, não são permitidos.

Então você tem que decidir quais dois números escolher; tem ${5 \choose 2} = 10$ maneiras de escolhê-los:

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

Portanto, a resposta para três slots é $(2^3 - 2){5 \choose 2} = 60.$

Generalizar.

Answer 2

Em sua abordagem, antes de tentar contar as maneiras de ordenar os números, você já tinha todos os pedidos que possuem números diferentes nas duas primeiras posições. Você forçou os dois primeiros a divergir, dizendo que havia$4$escolhas para a segunda posição. Você pode acompanhar contando aqueles que concordam nos primeiros dois números, dizendo que você tem$5$ escolhas para o primeiro, $1$ para o segundo, $4$ para o terceiro, e $2$para cada um dos outros. Isso obteria todos aqueles em que os dois primeiros correspondem e o terceiro é diferente. Agora conte aqueles em que os três primeiros são iguais e os quatro diferentes e, finalmente, os quatro primeiros são iguais.

A outra abordagem é primeiro contar as possibilidades não ordenadas. tem$20$combinações com três de um número e dois de outro. Cada um deles pode ser encomendado em$\frac {5!}{3!2!}$ formas, ou em $5 \choose 2$maneiras se você pensar em escolher os slots para o par. Da mesma forma, existem$20$combinações com quatro de um número e um de outro. Conte as formas de ordená-los e some tudo.