número de parêntese vs número de cobertura

Question

Só quero verificar se o lema da página 9 deste slide está correto:http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

Lema:$N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

Prova: Se$f$está no$2\epsilon$-suporte$[l,u]$, então está na bola de raio$\epsilon$por aí$(l+u)/2$.

Acho que a prova significa que, se um conjunto de$2\epsilon$-coberturas de suportes$\cal F$, então este conjunto também é um conjunto de bolas de raio$\epsilon$que pode cobrir$\cal F$. Como pode haver outros conjuntos de bolas de raio$\epsilon$que pode cobrir$\cal F$, o número de cobertura não é maior que o número de colchetes.

Não encontrei a mesma conclusão em nenhum livro que possa encontrar até agora (não tenho certeza se é porque essa conclusão é muito trivial), então não estou muito confiante para dizer se está certo ou errado. Agradeço muito se alguém puder me esclarecer!!

Answer 1

Sua elaboração está essencialmente correta, exceto que os colchetes em si não são$\|\cdot\|$-bolas.

Se$[l,u]$é um$2\epsilon$-colchete, então ele está contido no$\|\cdot\|$-bola de raio$\epsilon$centrado em$(l+u)/2$, desde$l \le f \le u$implica$$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

Assim uma capa de$2\epsilon$-suportes podem ser substituídos por uma tampa de maior$\epsilon$-$\|\cdot\|$-bolas da mesma cardinalidade.