Número esperado de sets no jogo de tênis

Question

Esta pergunta tem algumas postagens em outros sites de fórum e é um exemplo de pergunta de entrevista. Eu não acho que seja respondido corretamente em nenhum lugar, então pensei em apresentá-lo aqui completamente.

Para um jogo de tênis de 3 sets, você apostaria em terminar em 2 sets ou 3 sets? Suponha que a probabilidade de cada jogador ganhar um set seja constante ao longo do jogo.

Answer 1

Na verdade, fica ainda mais claro se você simplificar esse valor esperado:

$$\begin{align*} 2(p^2+q^2)+3(2qp^2+2pq^2)&=2(p^2+q^2)+3(p+q)(2pq)\\ &=2(p^2+q^2)+3(2pq)\\ &=2(p+q)^2+2pq\\ &=2+2pq\\ &\le 2+2\left(\frac12\right)^2\\ &=2.5\,, \end{align*}$$

então deve-se apostar em um$2$-defina partida.

Answer 2

Podemos calcular as probabilidades de cada resultado considerando as possíveis sequências de resultados da partida.

Denote o primeiro jogador ganhando por Q e sua probabilidade de ganhar q. Da mesma forma, rotule a probabilidade de o outro jogador ganhar p e sua vitória por P.

Temos as seguintes sequências possíveis:

$$QQ, PP, QPQ, QPP, PQP, PQQ$$

$QQ$significa jogador$q$ganhou os dois sets, e este resultado tem, portanto, probabilidade$q^{2}$. Da mesma forma, o resultado$PQQ$tem$p$vencendo o primeiro set seguido de$p$ganhar os próximos dois sets, então esta sequência tem probabilidade$pq^{2}$, e assim por diante.

O número esperado de conjuntos é assim:

$$ E(sets) = 2 * (p^{2} + q^{2}) + 3 * (2qp^{2} + 2pq^{2}) $$

Se definirmos p = q então isso dá um valor de$2.5$para o número esperado de conjuntos - ou seja, 2 ou 3 conjuntos é igualmente provável. À medida que atribuímos ao jogador q e p valores de probabilidade cada vez mais assimétricos, o número esperado de conjuntos converge para$2$.

Muitas respostas para essa pergunta parecem ter copiado e colado a lógica de que:

'$p^2 + q^2$é sempre$>= 2*p*q$'

Não vejo como isso tem alguma relevância para a pergunta. A restrição necessária é que$p + q = 1$, o que significa que$ p^{2} + q^{2} = 1 - 2*p*q$, mas talvez eu tenha perdido algo sobre isso.

Answer 3

Se as probabilidades de vitória dos dois jogadores forem$p$e$q$(com$p+q=1$), então a probabilidade do jogo terminar em dois sets é$p^2+q^2$, e a probabilidade de durar três séries é$2pq$. Desde a

$$(p^2+q^2)-2pq=p^2-2pq+q^2=(p-q)^2\ge0$$

você não pode errar apostando que vai acabar depois de dois sets. Como a desigualdade é estrita se$p\not=q$(ou seja, se um jogador for mais forte que o outro), você deve apostar que terminará depois de dois sets, na chance de que os jogadores sejam de força desigual.

Observe, porém, que esta análise depende crucialmente de uma suposição tácita de independência, ou seja, que o resultado de um jogo não tem efeito sobre o resultado de qualquer outro jogo. Pode ser divertido olhar para um banco de dados de jogos de tênis de três sets para ver quantos são decididos por um terceiro set.