Números $+1$, $-1$ em um círculo.

Question

Deixei $n$ ser um número inteiro positivo e que $2n$ os números são organizados em pontos diferentes ao redor de um círculo, metade desses números sendo $+1$ e metade de ser $-1$. Movendo-se no sentido horário ao redor do círculo a partir de uma determinada posição inicial, deixe$T_i$ seja o total do primeiro $i$ números passaram.

$(i)$ Prove que existe uma posição inicial no círculo para a qual não $T_i$ é negativo.

$(ii)$ Para qualquer posição inicial prove que $$n+\sum_{i=1}^{2n}T_i$$ é mesmo.

Eu resolvi $(ii)$. Como posso abordar o primeiro? Qualquer ajuda?

Answer 1

DICA: Comece de qualquer lugar e obtenha $2n$ somas parciais $T_1,\ldots,T_{2n}(=0)$. Diz isso$T_k$ é mínimo entre estes $2n$números. O que acontece se você começar em$k+1$ em vez de?