números complexos ajudam

Question

Dados os seguintes números complexos: $$ z=1+i\sqrt{3} \qquad w = 0.707 - 0.707i $$ encontre as formas cartesianas das seguintes expressões: $$ z^2 \bar{w}\qquad\text{and}\qquad \frac{z^3}{w^9} $$

A primeira que encontrei a resposta era 1,414 - 1,414i, correto?

Answer 1

Se você conhece as formas polares de $z$ e $w$, então o cálculo se torna muito mais fácil conforme mencionado nos comentários.

Suponha que $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ e $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$, então

$z^{2}\bar{w}=(r_{1}e^{i\theta_{1}})^{2}(r_{2}e^{-i\theta_{2}})=r_{1}^{2}r_{2}e^{i(2\theta_{1}-\theta_{2})}$ e $\frac{z^{3}}{w^9}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{9}}e^{3i(\theta_{1}-3\theta_{2})}.$

Então você pode usar a fórmula de Euler :$re^{i\theta}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ para expressar o seu resultado no formulário $x+iy.$

Agora desde $r_{1}=|z|=2$ e $\theta_{1}=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1})=\frac{\pi}{3}$ Você tem isso $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}.$ similarmente $w=r_{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ Onde $r_{2}=|w|=\sqrt{(0.707)^2+(0.707)^2}\space(\approx 0.9998489885978).$

Answer 2

Dica:

Observe aquilo $\;0.707\cong\cfrac1{\sqrt2}\approx\cfrac{\sqrt2}2\;$ , portanto

$$w\approx\frac{\sqrt2}2(1-i)$$

Assim, o primeiro é

$$z^2\overline w=(-2+2\sqrt3\,i)\frac1{\sqrt2}(1+i)=\sqrt2(-1+\sqrt3~i)(1+i)=\sqrt2(-1-\sqrt3-(1-\sqrt3)i)=$$

$$=-\sqrt2\left[(1+\sqrt3+(1-\sqrt3)~\right]$$

Continue daqui ...

Como comentado, na forma polar é muito mais fácil. Escolhendo o argumento padrão em [0,2 \ pi); $, obtemos:

$$ \; z = 2e ^ {\ pi i / 4} \;, \; \; w = e ^ {3 \ pi i / 4} \ implica \ texto {etc.} $$

e etc.