O conjunto é um grupo?

Question

Deixei $A$ ser um conjunto não vazio, $+$ é uma operação binária associativa e para cada $a$ no $A$, os dois mapas

1. $A \to A$ que envia $x$ para $x+a$
2. $A \to A$ que envia $x$ para $a+x$

são mapas bijetivos. A questão é determinar se$(A, +)$ um grupo ou não?

Meu entendimento que $A$ é um grupo se tem uma identidade e cada elemento tem o inverso, mas não tenho certeza de como usar esses mapas bijetivos para provar / refutar que $A$ é um grupo.

Answer 1

Elemento neutro (identidade)

Corrija um elemento arbitrário $a$. Desde o mapa$x \to a + x$ é bijetivo, o elemento $a$ tem exatamente uma pré-imagem sob este mapa, ou seja, existe um elemento único $e$ de tal modo que $a + e = a$.

O próximo passo é provar $\forall y: y + e = y$. Escolha um arbitrário$y$. Por bijetividade do mapa$x \to x + a$ existe um $x$ de tal modo que $x + a = y$. Agora, adicionando$x$ à esquerda para a igualdade $a + e = a$ (e usando associatividade), obtemos $y + e = y$, qed.

Então, $e$é um elemento neutro correto. Então observe que$e + e = e$, e pelo mesmo argumento acima $e$ também é um elemento neutro esquerdo.

Inversos

Finalmente, precisamos provar a existência de inversos. Escolha um arbitrário$x$. Pela sobrejetividade da adição esquerda e direita, existem elementos$y_1$ e $y_2$ de tal modo que $y_1 + x = e$ e $x + y_2 = e$. Agora observe que

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

Portanto, $y_1$ (Que tambem é $y_2$) é um inverso para $x$.

Answer 2

Deve haver um elemento de identidade exclusivo:

Há um único $e_a$ para cada $a$ de tal modo que $ae_a=a$.

Agora, pegando o único $c$ de tal modo que $ca=b$, nós entendemos isso $cae_a=be_a$ e também aquele $cae_a=ca=b$, de modo a $be_a=b$ e assim $e_a=e_b$.

Assim, temos que há um inverso correto único. Da mesma forma, há um inverso único à esquerda. Agora precisamos mostrar que os dois são iguais. Mas isso é fácil, pois$e_le_r=e_r=e_l$.

Agora, a bijetividade implica que deve haver um único $x_a$ de tal modo que $ax_a=e$. E da mesma forma, há um único$y_a$ de tal modo que $y_aa=e$. Mas então$y_aax_a=x_a=y_a$.

Assim, encontramos as quatro condições para um grupo, uma vez que fechamento e associatividade são essencialmente dados.

Answer 3

Pelo menos para finito $A$, sim, isso é suficiente para ter um grupo.

Ligar $\theta_a$ e $\gamma_a$, respectivamente, os mapas de tradução esquerdo e direito por um elemento fixo $a\in A$. Agora, por suposição,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ e (associatividade) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. Portanto (fechamento)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, e, portanto $\exists \tilde e\in A$ de tal modo que $\theta_{\tilde e}=Id_A$. Da mesma forma, sendo$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ de tal modo que $\gamma_{\hat e}=Id_A$; mas$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ e, portanto, as identidades esquerda e direita coincidem, digamos $e:=\tilde e=\hat e$.

Agora, desde $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, então $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ de tal modo que $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ ou equivalente, $a\tilde b=\hat ba=e$; deste último, obtemos, por exemplo $\hat ba=a\hat b$, de onde $a\tilde b=a\hat b$ ou equivalente, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, e finalmente $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.