O espaço de Banach é produto do espaço quociente

Question

Motivação: Se $a$ e $b \ne 0$ são números reais, então $a = b \cdot (a / b)$.

Questão: vamos $X$ ser um espaço de Banach e $M \subset X$um subespaço fechado. Então, o espaço quociente$X / M$também é um espaço de Banach. Nós temos$$ X = M \times (X / M) $$ em algum sentido?

(Por exemplo, "$\times$"poderia denotar o espaço de Banach do produto e"$=$"pode ​​significar" isomórfico ".)

Answer 1

Esse subespaço $M$é chamado de "complementado"

E se $M$ é um subespaço fechado de $X$, e existe outro subespaço fechado $N$ de tal modo que $X = M \oplus N$, então $N$ é isomórfico a $X/M$. [Aqui, quero dizer que o mapa$M \oplus N \to X$ definido por $(m,n) \mapsto m+n$ é um homeomorfismo de $M \oplus N$ para $X$. A topologia em$M \oplus N$ é a topologia cartesiana do produto.]

Nem todos os subespaços em um espaço de Banach são complementados, mas muitos comuns são. Claro que no espaço de Hilbert, todo subespaço é complementado. Além disso: subespaços de dimensão finita são complementados.

Um exemplo de um subespaço que não é complementado: $c_0 \subset l^\infty$ não é complementado.

Mais difícil de provar, mas é verdade: se $X$ é um espaço de Banach e cada subespaço fechado é complementado, então $X$ é isomórfico a um espaço de Hilbert.

Answer 2

Um subespaço fechado $M$ isso satisfaz $X\approx M\times N$ para algum outro subespaço fechado $N$, é dito ser complementado .

É um fato que alguns espaços de Banach têm subespaços fechados que não são complementados. Veja o exemplo de um subespaço fechado de um espaço de Banach que não é complementado?