O espaço de prova está conectado de forma semi-local e simples

Question

Deixei $X$estar conectado e conectado localmente por caminho. Suponha$X$ tem um mapa de cobertura $p:\tilde{X} \rightarrow X$ de tal modo que $\pi_1(\tilde{X};\tilde{x_0})$ é o grupo trivial para algum ponto base $\tilde{x_0} \in \tilde{X}$.
Eu gostaria de mostrar que isso implica que$X$está semi-localmente conectado de forma simples.
Preciso mostrar isso para cada$x \in X$ e qualquer bairro $V$ do $x$ existe um subconjunto aberto $U \subset X$ de tal modo que $x \in U$ e o homomorfismo $i_*:\pi_1(U;x) \rightarrow \pi_1(X;x)$ induzido pelo mapa de inclusão $i:U \rightarrow X$é trivial.
Não tenho certeza por onde começar. Eu preciso usar o critério de levantamento?

Answer 1

Assumindo $\tilde X$está conectado. Então, sua condição mostra que$ \pi_1(\tilde X,\tilde x)=0 \ \forall \ \tilde x\in \tilde X$.

Vou mostrar se $x_0\in X$ e $\tilde x_0$ encontra-se na fibra sobre $x_0$ do $\tilde X\xrightarrow{p}X$, então $ \pi_1(\tilde X,\tilde x_0)=0\implies X$ é semi-localmente conectado de forma simples em $x_0$.

Escolha uma vizinhança conectada por caminho aberto $U\ni x_0$ e deixar $\tilde U\ni \tilde x_0$ de tal modo que $p:\tilde U\rightarrow U$é um isomorfismo. Então temos o diagrama comutativo

$$\require{AMScd} \begin{CD} \tilde U @>\tilde i>> \tilde X\\ @Vp|_{\tilde U}VV @VpVV \\ U @>i>> X \end{CD} $$ Aplicando $\pi_1$ temos o seguinte diagrama comutativo $$\require{AMScd} \begin{CD} \pi_1(\tilde U,\tilde x_0) @>\tilde i_*>> \pi_1(\tilde X,\tilde x_0)\\ @V(p|_{\tilde U})_*VV @Vp_*VV \\ \pi_1(U,x_0) @>i_*>> \pi_1(X,x_0) \end{CD} $$

Assim, obtemos da comutatividade $i_*(p|_{\tilde U})_*=p_*\tilde i_*=0$ Desde a $\pi_1(\tilde X,\tilde x_0)=0$

Desde a $(p|_{\tilde U})_*$ é um isomorfismo, temos $i_*=0$

Aplicar este argumento a outros pontos completa a prova.

Edit: Para o caso geral, vamos$\tilde X=\bigsqcup_i \tilde X_i$ sejam os componentes conectados de $\tilde X$. Dizer$\tilde x_0\in \tilde X_{i_0}$ Então $p|_{\tilde X_{i_0}}:\tilde X_{i_0}\rightarrow X$ é um mapa de cobertura com $\tilde X_{i_0} $ conectado e você está de volta ao caso anterior.