O grupo Clifford é finito?

Question

Para qualquer fixo $n$, como podemos provar que o $n$-qubit grupo Clifford (subgrupo de $ U(2^n) $gerado por portas Hadmard, portas de mudança de fase e portas CNOT) é fino ou não? Eu sei que para o caso de qubit único, onde apenas a porta H e a porta S estão envolvidas, é um grupo finito, uma vez que essas duas portas correspondem a$\pi$rotações na esfera de Bloch ao longo de eixos que manifestam simetria. Acho que ainda é finito no caso de vários qubit, mas não consegui encontrar uma maneira de provar isso com rigor.

Além disso, se for finito, qual é a expressão do número de elementos do grupo em função de $n$?

Answer 1

Às vezes, há um pouco de confusão em torno do grupo Clifford no campo ... e é uma questão de definição.

Muitas pessoas definem o grupo Clifford $\mathrm{Cl}_n(p)$ de $n$ qudits de primeira dimensão $p$como o normalizador unitário do grupo de Pauli generalizado (por exemplo, Gottesman, Nielsen & Chuang). Como tal, claramente não é um grupo finito, pois o centro é$U(1)$.

No entanto, esta também é uma má definição, tanto do ponto de vista matemático quanto físico. Por quê? Primeiro, porque o centro é matematicamente enfadonho e não acrescenta nada à estrutura do grupo e, segundo, porque a fase global de um unitário é anti-física.

Existem três maneiras de resolver isso:

1. Defina-o por seus geradores (consulte o artigo de Gottesman sobre geradores de dimensões superiores). Então, está claro que é finito, pois todos os geradores têm entradas de matriz algébrica. Usando os geradores padrão, você ainda obterá um centro muito grande no caso do qubit:$\mathbb{Z}_8$. O mínimo é$\mathbb{Z}_4$ no caso qubit um $\mathbb{Z}_p$no caso do qudit. Redefinindo o$H$ portão como $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ torna o centro mínimo para qubits.
2. Você pode defini-lo como o normalizador no grupo unitário com entradas em $\mathbb{Q}[i]$(números complexos racionais). Isso lhe dará um grupo com centro mínimo (ver Ref. 1).
3. Defina o grupo projetivo $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$, ou equivalentemente, a imagem sob a representação adjunta, ou seja, os canais unitários associados a Cliffords. Seus elementos podem ser vistos como permutações dos operadores de Pauli (possivelmente com fases adicionadas) que preservam as relações de comutação. Uma vez que existem$p^{2n}$ Operadores Pauli, o número de permutações é finito (e, portanto, é $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$) Além disso, ele contém$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ Onde $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ é o (generalizado) grupo Pauli até fases e $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ é o grupo simplético sobre o corpo finito $\mathbb{F}_p$. Sua cardinalidade é$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ Assim, o grupo projetivo de Clifford tem cardinalidade $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$Para os não projetivos, deve-se multiplicar pela ordem do centro. Para uma referência, consulte, por exemplo, a Ref. 2

Referências:

1. Gabriele Nebe, EM Rains e NJA Sloane. “Os invariantes dos grupos de Clifford”
2. D. Gross, "Teorema de Hudson para sistemas quânticos de dimensão finita"