O momento angular pode ser definido diretamente em termos de velocidade angular?

Question

Eu não gosto que seja definido como $\vec{r} \times \vec{mv}$ já que a natureza angular não é óbvia nessa definição.

Suponha que haja uma única partícula se movendo. Escolhemos uma origem arbitrária. Nós definimos o momento angular no tempo$t$ Como $m|\vec{r(t)}|^2$vezes sua velocidade angular. Velocidade angular no tempo$t$ é definido como o vetor perpendicular a ambos $\vec{v(t)}$ e $\vec{r(t)}$ (de acordo com alguma regra convencional), e tendo a magnitude $\frac{d\theta}{dt}$, Onde $\theta (t)$ é a posição angular da partícula no momento $t$ no plano de $\vec{r(t)}$ e $\vec{v(t)}$, no que diz respeito à origem escolhida.

Portanto, isso o define para uma única partícula. Para um sistema de partículas, apenas somamos os momentos angulares. A fórmula$\vec{r}\times \vec{mv}$é alcançado como um meio de calculá-lo. Esta definição é equivalente a$\vec{r}\times \vec{mv}$? Qualquer uma dessas definições pode ser usada para qualquer problema geral?

Answer 1

Usando a velocidade tangencial, você pode escrever $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $, substituindo isso em sua expressão, você obterá a expressão conhecida para o momento angular de uma única partícula: $\vec{L} = mr^2 \vec{\omega}$. A quantidade$mr^2$é denominado momento de inércia de uma partícula em relação a um certo eixo de rotação. Uma generalização pode ser feita para uma coleção de partículas, se elas têm posições fixas em relação umas às outras, dizemos que essas partículas constituem um corpo rígido . A fórmula geral torna-se então$\vec{L} = \bf{I} \vec{\omega}$ Onde $\bf{I}$é chamado de tensor de inércia . Observe que isso tem a mesma estrutura do movimento linear onde$\vec{p} = m \vec{v}$ onde neste caso a massa $m$ assume o papel de inércia.

Answer 2

Sim, me convenci de que sua fórmula está correta. Acabei de calcular o produto vetorial e coloquei ômega em vez de v. Portanto, sua fórmula dá a resposta correta para o valor absoluto de p, mas ainda não consigo ver por que você não vê a mudança de ângulo no produto vetorial.