O que é $(A\Delta B) \cap (A\Delta C)$ ??

Question

O que é $$(A\Delta B) \cap (A\Delta C)$$ sem usar um diagrama de Venn.

Minha tentativa: nós temos $$(A\Delta B) \cap (A\Delta C)$$ $$\implies ?? $$

por favor, preciso de ajuda, tentei regras (comutativas, associativas, distributivas) para ∩ e ∪ e sei o resultado (usei a tabela da verdade), mas quero a demonstração

Answer 1

Notar que $$x \in A \Delta B \cap A \Delta C \iff x \in [(A -B)\cup(B-A)] \cap [(A -C)\cup(C-A)].$$ Mas $$ x \in [(A -B)\cup(B-A)] \cap [(A -C)\cup(C-A)] \iff x \in [(A-B) \cap (A-C)] \cup [(B-A) \cap (C-A)]. $$ Desde a $$(A-B) \cap (A-C)=(A \cap B^c) \cap(A\cap C^c)=A\cap B^c \cap C^c$$ e $$(B-A) \cap (C-A)= (B \cap A^c) \cap(C \cap A^c)=A^c \cap B\cap C$$ nós temos isso $$ x \in A \Delta B \cap A \Delta C \iff x \in [A\cap B^c \cap C^c] \cup [A^c \cap B\cap C]. $$