O que é o Continuum Aritmético
Recentemente, tentei entender os números surreais em um nível mais significativo. Ao longo do caminho, encontrei esta resposta a uma pergunta relacionada. A resposta aceita e o artigo que ela sugere contêm o termo "continuum aritmético" e "continuum aritmético absoluto".
Para minha surpresa, não consegui encontrar facilmente uma página da Web que contasse quais são as duas coisas. Em especial, o que é o continuum aritmético. O artigo diz que "o sistema de números reais deve ser considerado como constituindo um módulo de continuum aritmético do axioma de Arquimedes", mas eu ainda não consegui descobrir uma definição para ele.
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Um aspecto importante do motivo pelo qual hesito em confiar no que acho que o termo significa e em procurar uma definição formal é meu nível de conhecimento em matemática. Especificamente, estou inseguro quanto ao meu entendimento da teoria dos conjuntos e da teoria dos números, há tantas coisas que não sei.
Desde o início do texto, Cantor e Dedeking, e a maioria dos matemáticos dos tempos atuais, acreditaram que a lacuna entre a discrição e a continuidade foi preenchida pela criação / descoberta de números reais.
Agora, para a parte que chegou mais perto, na minha opinião, de uma definição.
enquanto a teoria de Cantor-Dedekind consegue preencher a lacuna entre os domínios da aritmética e da geometria euclidiana padrão, ela apenas revela um vislumbre de uma teoria muito mais rica dos contínuos
Eu acreditava que o termo "continuum aritmético" se referia, especificamente, a uma ponte entre a aritmética e a geometria euclidiana, e isso fazia sentido para mim. Nesse sentido, pensei, pode haver outros sistemas matemáticos para os quais ainda há lacunas na geometria euclidiana ou na aritmética. Portanto, pode haver um "continuum x" sem nome para preencher alguma outra lacuna.
Do nome "continuum aritmético absoluto", tive a impressão de que era uma ponte entre qualquer sistema matemático e aritmética. Porém, logo no texto, mudei de ideia devido ao teorema 1.
Teorema 1. Considerando que $\mathbb{R}$ é (até o isomorfismo) o único campo ordenado universal homogêneo arquimediano, Não é (até o isomorfismo) o campo ordenado universal homogêneo único
Continuei lendo a tese por algum tempo, mas logo ficou difícil, porque sou novo nisso. Na verdade, eu não estava ciente disso$\mathbb{R}$é um campo universal ordenado e não posso dizer que sei exatamente o que é, por exemplo. Embora eu tenha dado uma pausa na leitura do jornal, ainda estava interessado em saber o que os nomes significavam. Meu entendimento no início do texto estava no caminho certo ou os termos têm outro significado? Qual seria esse outro significado, ou qual seria o aspecto importante que difere uma aritmética de um continuum não aritmético?
Respostas
Disclaimer : Eu não vi a frase "contínuo aritmética" fora de Ehrlich papel 's The Absolute Aritmética Continuum ea unificação de todos os números grandes e pequenas ( pré-impressão ), mas eu vi o adjetivo 'aritmética' e o substantivo 'contínuo' e leia seções do artigo para entender o significado.
Sinta-se à vontade para pular toda a seção "Contexto" se quiser apenas ver como cheguei ao meu melhor palpite quanto à intenção de Ehrlich com base no artigo. E pule para o final se quiser apenas adivinhar.
Contexto
"Aritmética"
O adjetivo "aritmética" tem alguns significados diferentes (por exemplo, um conjunto é aritmético se for definível na aritmética de Peano ), mas todos eles se resumem a "relacionado à aritmética ". Ou seja, de alguma forma conectado a operações básicas como adição, multiplicação e talvez subtração e divisão.
"aritmética" às vezes é distinguida de / emparelhada com "geométrica", como em " média aritmética " vs. " média geométrica ".
ponte entre a aritmética e a geometria euclidiana
Se alguém me perguntasse o que era aquela ponte, eu diria o plano cartesiano , não algo parecido com os surreals.
E quando penso em uma ponte entre algo aritmético e algo geométrico, lembro-me da média aritmético-geométrica . A palavra "aritmética" por si só não sugere isso para mim.
"Continuum"
Os significados de "continuum" são um pouco mais difíceis de definir. Em geral, continuum está conectado a coisas como "contínuo" em oposição a discreto.
Por exemplo, um modelo de física pode dizer que existe um continuum de valores para uma medição como o comprimento de onda de uma luz laser. Ele surge na frase mecânica contínua, onde o cálculo é usado e as partículas / átomos individuais dos corpos são ignorados. Você também pode ter ouvido falar do " continuum espaço-tempo ".
Na famosa hipótese do continuum , "continuum" se refere aos reais ou talvez à sua cardinalidade .
Generalizando a partir dos reais, obtemos contínuos lineares que são conjuntos com uma ordem linear que compartilha as propriedades Dedekind - completude e densidade dos reais. Equivalentemente , aquele cuja topologia de ordem compartilha a conectividade dos reais.
Uma generalização diferente de intervalos fechados de reais é o conceito geral de um contínuo em topologia. É um espaço métrico conectado compacto não vazio , ou talvez se refere de forma mais geral a qualquer espaço de Hausdorff conectado compacto . É a isso que se refere a tag [teoria do contínuo] .
Observe que os surreais não estão conectados sob a topologia de ordem (por exemplo, há uma lacuna às vezes indicada "$\infty$"entre os surreais infinitos maiores que todos os inteiros e todos os outros surreais), portanto, nenhuma dessas definições de" continuum "parece se aplicar.
Significado
Procurando pela frase
No corpo principal do trabalho (pré-impressão de), sem contar o título, o título de referência, o resumo, a introdução ou o título de uma parte, a frase "continuum aritmético" aparece apenas três vezes, para que possamos examiná-los todos :
É isso junto com o Teorema 1 e uma série de resultados intimamente relacionados (ver [Ehrlich 1992, no prelo 1]) que naturalmente sugerem que $\mathbf{No}$ pode ser considerado como um continuum aritmético absoluto (módulo $\mathrm{NBG}$)
...
Considerando que os Teoremas 1 e 3 podem ser considerados para caracterizar $\mathbf{No}$ como um contínuo aritmético absoluto, pode-se dizer que o Teorema 13 caracteriza $\mathbf{No}$ como um $s$- continuum aritmético absoluto hierárquico .
A primeira citação aparece logo após o Teorema 3 e faz referência ao Teorema 1, e a segunda citação faz referência aos Teoremas 1 e 3, portanto, devemos definitivamente examinar esses teoremas e as definições das quais eles dependem.
Teoremas e definições
Teorema 1 (Ehrlich 1988; 1989; 1989a; 1992). Enquanto que$\mathbb R$é (até o isomorfismo) o único campo ordenado arquimediano universal homogêneo, $\mathbf{No}$é (até o isomorfismo) o campo ordenado universal homogêneo único .${\!}^{4}$
...
${\!}^{4}\!$ Para os fins deste artigo, um campo ordenado (campo ordenado arquimediano) $A$é considerado universal homogêneo se for universal - cada campo ordenado (campo ordenado arquimediano), cujo universo é uma classe de$\mathrm{NBG}$ pode ser incorporado em $A$- e é homogêneo - todo isomorfismo entre subcampos de$A$ cujos universos são conjuntos podem ser estendidos a um automorfismo de $A$.
...
a notação "$L<R$"indica que cada membro de $L$ precede cada membro de $R$...
Definição 1 (Ehrlich 1987). Uma aula ordenada$\langle A,<\rangle$será considerado um continuum linear absoluto se para todos os subconjuntos$L$ e $R$ do $A$ Onde $L<R$ existe um $y\in A$ de tal modo que $L<\{y\}<R.$
...
Teorema 2 (Ehrlich 1988).$\langle\mathbf{No},<\rangle$ é (até o isomorfismo) o único contínuo linear absoluto.
...
Teorema 3 (Ehrlich 1988).$\mathbf{No}$ é (até o isomorfismo) o único campo real fechado ordenado que é um continuum linear absoluto.
Um campo ordenado é real-fechado se e somente se ele não admite extensão para um campo ordenado mais inclusivo que resulta da suplementação do campo com soluções para equações polinomiais com coeficientes no campo ...$\mathbf{No}$ não apenas exibe todas as gradações algébricas e teóricas da ordem definidas teoricamente por conjuntos consistentes com sua estrutura como um campo ordenado, mas também dentro do isomorfismo a única estrutura que exibe. É isso junto com o Teorema 1 ... contínuo aritmético absoluto ...
Do acima exposto, um "contínuo linear absoluto" tem uma versão reforçada da versão da propriedade de densidade que os "contínuos lineares" usuais têm. E$\mathbf{No}$é chamado de "contínuo aritmético absoluto" porque também tem tantas soluções para polinômios (que está mais relacionado à aritmética do que ordens lineares) quanto um campo ordenado pode, porque é um campo fechado real .
"continuum aritmético (absoluto)"
Embora não seja explicitamente explicitado neste artigo, imagino que "continuum aritmético" poderia significar um campo real-fechado cuja estrutura de ordem é a de um contínuo linear . ($\mathbb R$ é a única coisa até o isomorfismo.)
E um "continuum aritmético absoluto" é quase certamente um campo real-fechado do tamanho de uma classe em NBG cuja estrutura de ordem$\langle A,<\rangle$ é o de um "continuum linear absoluto", o que significa que se $L$ e $R$ são conjuntos e cada elemento de $L$ é menos do que qualquer elemento de $R$, então podemos encontrar $y\in A$ de tal modo que $\ell<y$ e $y<r$ para todos $\ell\in L$ e $r\in R$. ($\mathbf{No}$ é a única coisa até o isomorfismo.)