O que é uma teoria de campo fermiônico?
Deixei $\mathscr{H}$ ser um espaço Hilbert e $\mathscr{H}^{n}$ seja o associado $n$produto tensorial dobrado deste espaço de Hilbert. Vou pular os detalhes matemáticos a seguir, mas minha abordagem segue o livro de Reed & Simon . Podemos definir um operador$A_{n}$, chamado de operador anti-simétrico, que é uma projeção ortogonal em $\mathscr{H}^{n}$ ao seu subespaço anti-simétrico $A_{n}\mathscr{H}^{n}$. Matematicamente, podemos definir o que normalmente é chamado de espaço Fock fermiônico $\mathcal{F}_\text{fer}$ de: $$\mathcal{F}_\text{fer} := \bigoplus_{n=0}^{\infty}A_{n}\mathscr{H}^{n}$$ Onde $A_{0}\mathscr{H}^{0} := \mathbb{C}$ e $A_{1}\mathscr{H}^{1} := \mathscr{H}$. Podemos prosseguir e definir operadores em$\mathcal{F}_\text{fer}$, como o Hamiltoniano, operadores de criação e aniquilação e assim por diante. O procedimento para fazer isso é basicamente o seguinte: temos um determinado operador$T$ em $\mathscr{H}$ e nós estendemos para $\mathscr{H}^{n}$usando um procedimento chamado segunda quantização e, em seguida, definir$T$ em $\mathcal{F}_\text{per}$ permitindo que ele atue em cada 'componente' $A_{n}\mathscr{H}^{n}$.
O cenário acima é muito geral e é basicamente matemática. Porém, o nome 'fermiônico' sempre me chamou a atenção. Eu tinha certeza de que essa era a formulação matemática de um sistema de muitos férmions em algum sentido, e isso justificaria o nome. No entanto, com o passar do tempo, descobri alguns modelos muito diferentes que parecem ser descritos pelo formalismo acima. Deixe-me dar alguns exemplos informais rápidos:
(1) Podemos levar$\mathscr{H} = L^{2}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{C})$ o espaço de funções integráveis quadradas de valor complexo definidas em $\mathbb{R}^{d}$.
(2) Se estivermos em um espaço discretizado, podemos substituir$\mathbb{R}^{d}$ no exemplo acima por algum conjunto finito $\Lambda$. Este conjunto finito pode ser uma rede finita ou mesmo o produto cartesiano de uma rede finita e algum conjunto finito de 'spin'.
(3) Se estamos pensando em campos de Dirac, parece que o próprio Hilbert$\mathscr{H}$ é $\mathbb{C}^{2}$, que conta para girar a linha ${1}\choose{0}$ e ${0}\choose{1}$.
Esses três exemplos (e possivelmente outros) são encontrados em muitos livros diferentes com o mesmo nome de 'sistema fermiônico' ou 'teoria do campo fermiônico'.
Pergunta: Não sei se todos esses três exemplos são apenas realizações diferentes de apenas um sistema físico, mas acredito que não . Então, parece que por uma teoria de campo fermiônico, geralmente se pensa em um espaço Fock fermiônico$\mathcal{F}_\text{fer}$ junto com algum segundo hamiltoniano quantizado $H$atuando neste espaço Fock, então existem muitas realizações diferentes de teorias de campo fermiônico, ao invés de apenas uma. Isso é preciso?
Respostas
Uma teoria de campo fermiônico não é caracterizada por seu espaço de Hilbert. É caracterizado pelas relações algébricas entre seus operadores de campo.
Uma teoria de campo fermiônico é aquela cujos observáveis são construídos a partir de operadores de campo $\psi_n(x)$ que satisfazem as relações anticomutação de tempo igual \begin{align} \{\psi_n(x,t),\psi_m(y,t)\} &= 0 \\ \{\psi_n(x,t),\psi_m^\dagger(y,t)\} &= 0\text{ if }x\neq y\text{ or }n\neq m, \end{align} Onde $\{A,B\}\equiv AB+BA$. O princípio de exclusão de Pauli é uma consequência disso. As várias construções descritas na pergunta podem ser usadas como diferentes maneiras de representar tais operadores em um espaço de Hilbert.
Minha resposta https://physics.stackexchange.com/a/582216dá alguns comentários gerais sobre representações. A mensagem central é que o próprio espaço de Hilbert não nos diz quase nada sobre uma teoria. O padrão de observáveis é o que importa. Diferentes maneiras de representar o espaço de Hilbert podem ser mais ou menos convenientes para diferentes padrões de observáveis, mas os observáveis são o que importa.
Sim, existem muitas teorias de campo fermiônico diferentes. O hamiltoniano$H$em si pode ser suficiente para distinguir entre alguns deles, mas o hamiltoniano é apenas um operador. A relação entre o hamiltoniano e outros observáveis é mais criteriosa, e tal relação está implícita sempre que expressamos$H$em termos de operadores de campo, porque outros observáveis também são expressos em termos de operadores de campo. Observe que os observáveis devem comutar entre si na separação semelhante ao espaço (este é um dos princípios de causalidade), então um observável necessariamente envolve um produto de um número par de operadores de campo anticomutação.
A propósito, de vez em quando, vejo o nome "férmion" usado como sinônimo de algo cujo spin é um múltiplo ímpar de $\hbar/2$. Na teoria quântica de campos relativística, a conexão estatística de spin justifica essa linguagem. Mas, de forma mais geral, essa conexão não se mantém: um férmion (algo cujos operadores de campo anticomutam) não necessariamente tem esse spin, ou vice-versa.