O “último dos ases”

Question

Você tem um baralho completamente embaralhado de 52 cartas. Cada vez que você escolhe uma carta do baralho. A carta retirada é colocada de volta no baralho e todas as 52 cartas são embaralhadas novamente. Você continua este procedimento até que tenha visto todos os quatro diferentes ases. Qual é o valor esperado e o desvio padrão do número de vezes que você tem que tirar uma carta até que tenha visto todos os quatro diferentes ases?

Obviamente, o problema é que posso comprar o mesmo ás repetidamente, então devo contar o número de cartas que comprei entre os $k-1$o sucesso e o $k$o sucesso (ou seja, por exemplo, as cartas compradas entre o terceiro e o quarto ás, cada uma diferente da outra). Mas o fato de os ases devem ser diferentes ligado ao fato de que uma vez tirado um ás, este ás é colocado de volta no baralho implica que assim que eu comprar o terceiro ás o "jogo" começa do zero, então eu tenho que calcular o número de tentativas (cartas compradas) necessárias para ter o primeiro sucesso (ou seja, o quarto e último ás ainda não visto).

Então se $X_i=[$# cartas sorteadas antes do $i$o ás$]$, nós temos isso $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.

Como posso usar isso para resolver o problema? Agradecemos antecipadamente por qualquer ajuda.

Answer 1

Deixei $X$ denotam a variável aleatória denotando o número de tentativas para obter $4$ases. Podemos dividir$X$ para dentro $4$ variáveis ​​aleatórias separadas, que chamaremos $X_1$ (o número de tentativas para puxar o primeiro ás), $X_2$ (o número de tentativas para puxar o segundo ás depois de puxar o primeiro), $X_3$ (o número de tentativas para puxar o terceiro ás depois de puxar o segundo) e $X_4$(o número de tentativas para puxar o quarto ás após puxar o terceiro). A distribuição de probabilidade das variáveis ​​é a distribuição geométrica. Para uma distribuição geométrica, temos$E[Y]=\frac1p$ e $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.

A chance de tirar nosso primeiro ás em um teste é $\frac4{52}=\frac1{13}$ então $E[X_1]=13$ e $\text{Var}(X_1)=156$. A chance de tirar nosso terceiro ás em uma tentativa é$\frac3{52}$ então $E[X_2]=\frac{52}3$ e $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. A chance de tirar nosso terceiro ás em uma tentativa é$\frac2{52}=\frac1{26}$ então $E[X_3]=26$ e $\text{Var}(X_3)=650$. A chance de tirar nosso terceiro ás em uma tentativa é$\frac1{52}$ então $E[X_3]=52$ e $\text{Var}(X_4)=2652$.

Porque $X_1$, $X_2$, $X_3$ e $X_4$ são independentes, podemos adicionar diretamente os valores esperados e as variações para obter o valor esperado e a variação de $X$. Nós temos

$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$

e

$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$

Para encontrar o desvio padrão, pegamos a raiz quadrada da variância, ou seja:

$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$