O “verdadeiro efeito borboleta”
Essa pergunta se origina da confusão que sinto depois de ler este popular post de Sabine Hossenfelder. É baseado neste papel que infelizmente tem acesso pago.
A reivindicação é a seguinte:
Em vez disso, conforme apresentado em seu artigo Tellus de 1969, Lorenz pretendia que a frase descrevesse a existência de uma barreira de previsibilidade em tempo finito absoluto em certos sistemas de fluidos multi-escala, implicando em um colapso da dependência contínua das condições iniciais para prazos de previsão grandes o suficiente.
A quebra da continuidade foi uma surpresa completa para mim e, de fato, aqui está meu rascunho da prova do contrário:
- Considere o espaço vetorial linear de funções com suporte compacto sobre o espaço de fase, aumentado com o usual $L_2$ norma.
- Defina a ação do hamiltoniano (clássico) nas funções por $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$. Observe que com esta definição, o operador é auto-adjunto (pode ser comprovado por um argumento envolvendo integração por partes).
- Pelo teorema de Stone , deve haver um grupo 1-paramétrico fortemente contínuo de traduções de tempo, portanto, a quebra da dependência contínua nas condições iniciais é impossível.
Visto que minha conclusão aparentemente contradiz a conclusão abstrata de Palmer et al., Eu gostaria de saber o que exatamente dá errado que pode levar a uma barreira de previsibilidade em tempo finito em sistemas que exibem o "efeito borboleta real".
Atualização: um argumento muito mais simples de um amigo meu: pegue$U(T/2)$ (operador de evolução associado ao intervalo de tempo $T/2$ Onde $T > 0$é a suposta barreira da previsibilidade). Por construção é contínuo, pois$T / 2 < T$. Conseqüentemente,$U(T/2)^4 = U(2T)$também é contínuo. Isso nos permite ver um futuro mais distante do que a barreira com um operador contínuo, o que está em contradição com a suposição original. Concluimos que$T$ deve ser infinito ou zero.
Respostas
Existem alguns problemas com a postagem no site. Não consigo entender como passar das equações de Navier-Stokes , que são PDEs , a algum sistema ODE (equações de Lorenz?) Que parecem ser o assunto da discussão (olhando também para a formulação da questão pelo Prof.Legolasov). Infelizmente não tenho acesso ao jornal.
De um ponto de vista puramente matemático, tudo é claro, de modo que o problema deve dizer respeito à modelagem física : alguma quebra da descrição matemática deve ocorrer em algum nível por razões físicas, mas sem ler o artigo é difícil discuti-la.
Aqui está uma breve descrição do cenário matemático em relação à dependência dos dados iniciais.
Cada sistema ODE (autônomo) como Lorenz 'um pode ser escrito como$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ Onde $x\in M$, $M$ sendo algum $C^k$ múltiplo e $F$ uma $C^k$ campo de vetor em $M$ com $k\geq 1$.
Agora, é um resultado padrão da teoria ODE que, se $x=x(t|x_0)$ é a solução máxima de (1) com a condição inicial $x(0)= x_0\in M$, assim definido em um intervalo aberto $I_{x_0}\ni 0$, então
(1) o conjunto $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ está aberto em $\mathbb{R}\times M$
(2) o mapa $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ é em conjunto $C^k$ (e $C^{k+1}$ na variável $t$)
Portanto, no domínio completo da solução, há um $C^k$(portanto, contínua) dependência de dados iniciais. Em particular, ao corrigir alguns$T$, o mapa $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ Onde $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$, é necessariamente contínuo.
Se, em vez disso, estamos lidando com PDEs adequados, equações de Navier-Stokes precisamente, as coisas são muito mais delicadas e, como é bem sabido. Apenas a prova de um teorema de existência e unicidade para dados iniciais (que agora são funções) é problemática. A dependência contínua da data inicial é ainda mais problemática.
Em relação à sugestão do Prof.Legolasov, tenho alguns problemas com ela.
(a) Estamos nos referindo ao sistema ODE de Lorenz? Isso não é hamiltoniano, pois a variedade tem dimensão ímpar, então o que é$H$?
(b) Em vez disso, estamos usando alguma estrutura de Poisson não simplética?
(c) Em seguida, mesmo referindo-se a $L^2(M)$ (qual medida?) sobre uma variedade de Poisson $M$, $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ é simétrico, por exemplo em $\mathbb{R}^{2n}$referindo-se à estrutura euclidiana natural e à estrutura simplética padrão em coordenadas cartesianas ortonormais, mas não é necessariamente essencialmente auto-adjunta (essencialmente, auto-articulação de PDE em variedades Riemannianas é uma questão delicada e os resultados gerais são conhecidos para operadores elípticos e$-i\{H, \cdot\}$ não é elíptica em geral [que métrica Riemanniana em geral quando somos dotados apenas de uma estrutura de Poisson?]).
(d) Finalmente, mesmo se produzirmos um grupo unitário fortemente contínuo gerado por alguma extensão autoadjunta de $-i\{H, \cdot\}$, Posso ver a relação com a dependência contínua dos dados iniciais da ODE associada a $H$.
Aqui está o que provavelmente está faltando.
Esse limite de previsibilidade exigia a existência de um mecanismo de feedback que opera durante cada etapa de tempo na simulação. O feedback amplifica cumulativamente a sensibilidade às condições iniciais e amplia os efeitos de erros de arredondamento e discretização nos algoritmos e, portanto, faz com que o sistema se torne divergente após um certo número de iterações. Este efeito não é visto se o caminho de feedback for interrompido.