Operador compacto com inverso contínuo

Question

Deixei $K:E \rightarrow E$ ser um operador compacto em um espaço normal $E$. Deixei$R^q$ ser o alcance de $(\lambda I-K)^q$ Onde $q$ é tal que $R^n = R^q$ para todos $n \geq q$. Além disso, a restrição$(\lambda I - K)|_{R^q}$tem um inverso. Prove que o inverso desta restrição$(\lambda I-K)|_{R^q}^{-1}$ é contínuo.

Como esses são operadores lineares, contínuo é equivalente a limitado. Então,$(\lambda I -K)$ é contínuo (porque $K$é compacto) e então limitado. Portanto, há um$C > 0$ de tal modo que $||(\lambda I - K)x|| \leq C ||x||$. A única dica que tenho é que tenho que provar que há um$C_2>0$ de tal modo que $$||(\lambda I - K)x|| \geq C_2 ||x||.$$Mas não vejo por que isso prova a afirmação. Já que estou trabalhando com a restrição de$R^q$, $x \in R^q$ então $(\lambda I -K)x = (\lambda I -K)(\lambda I -K)^q y$ para alguns $y \in E$. Mas desde$R^q = R^{q+1}$, $(\lambda I -K)x = (\lambda I -K)^q z$ para alguns $z \in E$. E agora estou preso. Então, tentei escrever$x = (\lambda I-K)^{-1}[(\lambda I-K)x]$mas não recebi nada. Alguma dica? obrigado

Answer 1

Eu suponho $\lambda$é considerado diferente de zero, correto? Se então,$\lambda I-K$ é um operador Fredholm em $R^q$cujo índice é zero. Já que o índice de um operador Fredholm$T$ é definido por $$\text{ind}(T)= \text{dim}(\text{Ker}(T)) - \text{codim}(\text{Ran}(T)), $$ e desde $\lambda I-K$ está em $R^q$ pela suposição de que $R^q=R^{q+1}$, nós deduzimos que $\lambda I-K$ é um para um e, portanto, invertível em $R^q$.

Também é sabido que o alcance de um operador Fredholm está sempre fechado, então $R^q$está fechado e, portanto, um espaço de Banach. Finalmente, desde$\lambda I-K$ é invertível em $R^q$, o Teorema do mapeamento aberto implica que $(\lambda I-K)^{-1}$ é contínuo em $R^q$.

---

PS: Sei que pode haver alguns resultados bastante sofisticados sendo usados ​​aqui, então não hesite em perguntar se você gostaria que eu fosse mais explícito com qualquer uma das afirmações acima.