Operadores de densidade e decomposição espectral

Question

Há duas questões sobre as quais estou curioso, e ambas podem ser incrivelmente bobas. Só não fui capaz de me convencer do contrário.

Sabemos que um operador de densidade $\rho_E$ tem a forma $\rho_E = \sum_j \rho_j |x_i\rangle\langle x_i|$ Onde $\text{Tr}(\rho_E) = \sum_j \rho_j = 1$. Desde a$\rho_E$ também é normal, deve ter uma decomposição espectral $\rho_E = \sum_i \lambda_i\Pi_i$ Onde $\Pi_i$ são projeções no espaço próprio associado com $\lambda_i$.

Agora, será que essas duas decomposições são iguais? Significado$\lambda_i = \rho_i$ e $|x_i\rangle\langle x_i| = \Pi_i$?

Se sim, há uma boa explicação do porquê $|x_i\rangle\langle x_i|$é na verdade uma projeção no eigenspace? Ou seja, suponha que temos algum mapa linear$M: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ com, digamos, autovetor $v = (2,1)^T$. Vai$(2,1)^T \cdot (2,1) = |v\rangle\langle v|$ na verdade, ser uma projeção para a auto-capacidade associada com $v$?

Answer 1

Com a notação "ket-bra" $|u\rangle\!\langle v|$ queremos dizer o operador linear $x\mapsto |u\rangle\langle v|x\rangle$, Onde $\langle v|x\rangle$ é o produto interno entre os vetores $|x\rangle$ e $|v\rangle$. Em uma notação matemática mais padrão, isso pode ser denotado com$uv^*$, aqui $v^*$ é o dual de $v$.

Por causa disso, $|v\rangle\!\langle v|$, para qualquer vetor unitário $|v\rangle$ (que geralmente é o caso quando se está usando a notação Ket), é um projetor trace-1, que trivialmente se projeta no espaço unidimensional medido por $|v\rangle$.