Pentagrama e Razão Áurea
Os pitagóricos usavam o pentagrama como símbolo místico. Eles acreditavam que cada forma numérica tinha um significado oculto e o pentagrama estava relacionado à proporção áurea. Minhas perguntas são:
- A única razão pela qual a ração de ouro é tão famosa é por causa dessas relações:
$\frac{\text{red}}{\text{green}}=\frac{\text{green}}{\text{blue}}=\frac{\text{blue}}{\text{purple}}=\varphi ??$
- Como pode ser provado sem o uso de ângulos?

Respostas

Isso pode ser provado usando triângulos semelhantes. O triângulo roxo e o triângulo verde são semelhantes porque todos os lados estão na mesma linha ou paralelos. O triângulo roxo e o triângulo$ABC$ são semelhantes por motivo óbvio, dando ${red\over green}={green\over blue}={blue \over purple}$.
Para a proporção, observe que $green+blue=red$ e ${red\over green}={green\over blue}$ então $${green+blue\over green} = {green\over blue}$$ $$({green\over blue})^2-{green\over blue}-1=0$$.