Pergunta sobre a equação de Pell.

Question

Questão. Suponha que$x,y,x',y'$ são inteiros positivos que satisfazem $x^2-dy^2=\pm 1$ e $(x')^2-d(y')^2=\pm 1$respectivamente. Assumindo$x<x'$, prove isso $y<y'$.

Não tenho certeza por onde começar. Em primeiro lugar, ao tomar a solução positiva, eu fatorou para$(x+\sqrt{d}y)(x-\sqrt{d}y)=1$ para que possamos ter $y=0$ e $x=1$. Mas eu realmente não sei como isso ajuda.

Quaisquer dicas ou caminhos de continuação seriam muito apreciados.

Answer 1

Você tem

$$x^2-dy^2=\pm 1 \tag{1}\label{eq1A}$$

$$(x')^2-d(y')^2=\pm 1 \tag{2}\label{eq2A}$$

E se $d \lt 0$, não há soluções apenas em números inteiros positivos e, se $d = 0$, então ambos os lados direitos devem ser $1$ com $x = x' = 1$, o que também não é permitido. Portanto,$d \gt 0$.

Em seguida, não necessariamente assumindo o lado certo $\pm 1$ os valores são os mesmos no $2$ equações, \ eqref {eq2A} menos \ eqref {eq1A} dá

$$((x')^2 - x^2) - d((y')^2 - y^2) = z \tag{3}\label{eq3A}$$

Onde $z \in \{-2, 0, 2\}$, então $z \le 2$. Desde a$x \ge 1$e $x' \gt x \implies x' \ge x + 1$, você consegue $(x')^2 - x^2 \ge (x + 1)^2 - x^2 = 2x + 1 \ge 3$. Portanto,$- d((y')^2 - y^2) \le -1 \implies d((y')^2 - y^2) \ge 1$ e desde $d \gt 0$, você também tem $(y')^2 - y^2 \gt 0 \implies y' \gt y$.

Answer 2

Hm ... isso não é trivial de provar?

Primeiro, é fácil ver que $d$ é positivo.

Em segundo lugar, você pode expressar diretamente $y$ e $y'$como uma função
(é a mesma função) de$x$ e $x'$ respectivamente.

$$y = \sqrt{\frac{x^2-1}{d}}$$
$$y' = \sqrt{\frac{x'^2-1}{d}}$$

E então, uma vez que esta função

$$f(t) = \sqrt{\frac{t^2-1}{d}}$$

está aumentando e $x \lt x'$, sua declaração $y \lt y'$ é obviamente verdade.