Pergunta sobre o anel principal

Question

Sou estudante de matemática. Estou confuso sobre algum conceito básico, então peço por aqui ...

Em primeiro lugar, ideal principal significa ideal gerado por um único elemento, mas não sei o que significa 'gerado'. Como 'gerado' é definido?

Eu vi alguns exemplos no livro de Dummit, e eles dizem 'O ideal trivial 0 e o R ideal são ambos principais: 0 = (0) e R = (1)'. Minha segunda pergunta é: se o anel R é o principal, então seus ideais são sempre o principal?

Obrigado pela leitura e também espero que você responda às minhas poucas perguntas!

Answer 1

Em geral, se $R$ é um anel e $S\subseteq R$ é um subconjunto do ideal gerado por $S$ é definido como a intersecção de todos os ideais que contêm $S$como um subconjunto. Em outras palavras, este é o menor ideal (por inclusão) que contém$S$. A notação é$(S)$.

Em particular, se $S=\{a\}$ é um conjunto com um elemento então $(a)$ é o menor ideal de $R$ que contém o elemento $a$. Agora se$R$ é um anel com unidade, então é fácil ver que o conjunto:

$I=\{\sum_{i=1}^n r_ias_i: n\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ r_i,\ s_i\in R\}$

É um ideal que contém $a$. Conseqüentemente$(a)\subseteq I$. Por outro lado,$(a)$ em si é um ideal que contém $a$, assim, pelas propriedades de um ideal, deve conter todos os elementos de $I$. então$I\subseteq (a)$também é verdade. Então, isso implica$I=(a)$, encontramos uma maneira relativamente fácil de descrever $(a)$.

Se nós também soubéssemos disso $R$ é comutativa então seria ainda mais fácil, então simplesmente teríamos $(a)=\{ra: r\in R\}$. (verifique-o)

Tudo bem, agora às definições. Um ideal$I$ é chamado de principal se houver algum $a\in I$ de tal modo que $I=(a)$. Um anel$R$ é chamado de anel principal se todos os seus ideais forem principais.