Pergunta sobre os limites do lado esquerdo e direito

Question

Ao encontrar o limite da função $g(x)$, os limites do lado esquerdo e direito são iguais em x = a, mas no ponto $g(a)$é diferente. Nesse caso, se o limite existe?

Por exemplo,

$$g(x)= \begin{cases}2x+2 & \text{ if } x<2,\\ 8 &\text{ if } x=2 ,\\ 4x-2&\text{ if } x>2.\end{cases}$$

Aqui, os limites do lado esquerdo e direito existem e é igual a $6$, Contudo, $g(2)=8$. Neste caso, o que é$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} g(x) = ?$. Não existe ou tem algum valor específico?

Answer 1

O valor da função em $x=a$não importa para a definição de limite. Uma vez que os limites direito e esquerdo existem, então, pela definição, dizemos que o limite da função em$x=2$ é igual a $6$.

O que é verdade é que a função não é contínua naquele ponto, mas para a definição de limite, a função nem mesmo é solicitada a ser definida naquele ponto (por exemplo $\sin x/x$ em $x=0$)