Perguntas sobre o mapa do momento

Question

Deixei $(M,\omega)$ ser uma variedade simplética dotada de uma ação hamiltoniana de um toro $T$. Deixei$\mu : M \longrightarrow {Lie(T)}^*,$ser um mapa de momento associado a esta ação. Deixei$S_M =\bigcap\limits_{m \in M} Stab(m)$e $s_m$ seja sua álgebra de mentira.

Tenho duas perguntas sobre o mapa do momento:

I) Por que o mapa de momento é constante em cada componente conectado de $M^T$ ?

II) Eu sei que para cada $m \in M $, a imagem do mapa tangente de $\mu $ em m é $ Im(T_m \mu)={(s_m)}^\bot = \lbrace \eta \in Lie(T) \mid \langle \eta , X \rangle = 0 , \forall X \in s_m \rbrace $. Como isso implica que a imagem de M no mapa de momento é um espaço afim dirigido pelo espaço linear${(s_m)}^\bot$ ?

Answer 1

Acho que é sempre útil construir intuição para as ações do círculo hamiltoniano e então trazê-la para o caso geral.

Para ações de um círculo hamiltoniano, há um campo vetorial $X$ (ou seja, as curvas integrais do campo vetorial são as órbitas de $S^1$-action) e função suave $H : M \rightarrow \mathbb{R}$, sujeito à equação: $$dH = \omega(X,\cdot) .$$

Agora observe que pela identidade acima um ponto $p$ é consertado por $S^{1}$ $\iff$ $X|_p=0$ $\iff$ $dH|_p=0$.

Portanto, a derivada do Hamiltoniano é exatamente zero nas componentes do conjunto de pontos fixos e, portanto, $H$tem que ser constante neles. Para ações de toro em dimensões superiores, escolha uma base para a álgebra de Lie e aplique esse argumento a cada um dos componentes.

Para $2$ Acho que você deve esclarecer, já que a imagem do mapa de momento nem sempre é um espaço afim, embora seja um politopo convexo (por teorema de convexidade AGS).