Poder das somas das matrizes

Question

Qual é a teoria por trás da seguinte expressão, onde A + B representa matrizes quadradas nxn

Eu sei como isso é feito em álgebra, mas como chegar a essa expressão? Obviamente, o teorema binomial não é válido.

Answer 1

As matrizes são geralmente não comutativas no que diz respeito à multiplicação. Assim, a ordem de multiplicação deve ser preservada ao expandir poderes de somas de matrizes.

$(A+B)^3$ é realmente $(A+B)(A+B)(A+B)$, e a expansão é determinada escolhendo um termo de cada fator e combinando-os em ordem .

Answer 2

É a lei distributiva, aplicada um monte de vezes. Para subir à segunda potência e escrever todas as etapas:

$$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = AA + AB + BA + BB$$

Já que você não pode substituir $BA$ com $AB$ para matrizes (em geral), isso é o máximo que você pode ir com a simplificação, exceto para coletar execuções da mesma matriz como uma potência (por exemplo $AA = A^2$) Você pode ver como isso funcionaria quando você multiplicar por$(A+B)$ mais uma vez?