Por que$8^{\frac{1}{3}}$é$1$,$\frac{2\pi}{3}$, e$\frac{4\pi}{3}$

Question

A questão é:

Use o teorema de DeMoivre para encontrar$8^{\frac{1}{3}}$. Expresse sua resposta de forma complexa.

Selecione um:

uma. 2

b. 2, 2 cis (2$\pi$/3), 2 cis (4$\pi$/3)

c. 2, 2 cis ($\pi$/3)

d. 2 cis ($\pi$/3), 2 cis ($\pi$/3)

e. Nenhum desses

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eu penso isso$8^{\frac{1}{3}}$é$(8+i0)^{\frac{1}{3}}$

E,$r = 8$

E,$8\cos \theta = 8$e$\theta = 0$.

Então,$8^{\frac{1}{3}}\operatorname{cis} 0^\circ = 2\times (1+0)=2$

acabei de conseguir$2$. Onde e como os outros$\frac{2\pi}{3}$, e$\frac{4\pi}{3}$vem de onde?

Answer 1

Poderíamos olhar assim:
$$8^{\frac13}=2.1^{\frac13}=2\cdot \text{CiS}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$$Agora, para diferentes valores de$k$, temos respostas diferentes: (aqui$n$é$3$)$$k=1\implies 8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS} \left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ $$k=2\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$ $$k=3\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}(2\pi)=2$$

Você poderia ler sobre$n^{\text{th}}$raízes da unidade na Wikipedia para obter uma imagem melhor

Answer 2

Deixar$z^3=8$.

Desta forma,$$(z-2)(z^2+2z+4)=0,$$que dá$$\{2,-1+\sqrt3i,-1-\sqrt3i\}$$ou$$\left\{2(\cos0+i\sin0),2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right\}$$

Answer 3

Aqui,$$\begin{align*} 8^{1/3} &= (|8|e^{2\pi kj})^\frac{1}{3}, k = 0,1,2\\ &= |8|^\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ &= 2 e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ \end{align*}$$

então, para$k=1$,$k=2$Nós temos$\frac{2\pi}{3}$e$\frac{4\pi}{3}$

Ou pegue:$$8^{1/3}=x$$Então nós conseguimos,

$$(x-2)(x^2+2x+4)=0$$

Então, obtemos nossas raízes desejadas.

Answer 4

$8^{\frac{1}{3}}$=$2(1)^{\frac{1}{3}}=2,2\omega,2{\omega}^2$

aqui$\omega$é a raiz cúbica da unidade