Por que essa sequência existe?

Question

Temos o seguinte teorema do Livro de Análise Real 3 de Stein e Shakarchi que diz que se$H$é um espaço de Hilbert,$f \in H$, e$S$é um subespaço fechado de$H$, então existe um elemento$g_0 \in S$de tal modo que$\|f-g_0\| = \inf_{g \in S}\|f-g\|$.

A prova começa deixando$d = \inf_{g \in S}\|f-g\|$e considerando uma sequência$\{g_n\} \subset S$com a propriedade que

$$\|f-g_n\| \rightarrow d \text{ as }n \to \infty $$

Estou tendo problemas para ver por que essa sequência$\{g_n\}$deveria existir . Minha intuição está me dizendo que preciso usar a caracterização épsilon de ínfimo. Ou seja, se$A$é um conjunto de números reais e$d := \inf A$, então

$$\forall \epsilon > 0, \exists x \in A \text{ such that }x < d + \epsilon$$

Answer 1

Para cada$n\in\mathbb{N}$deve haver um elemento$g_n\in S$de tal modo que$d\leq ||f-g_n||<d+\frac{1}{n}$, isso de fato decorre da caracterização épsilon do ínfimo. Pelo teorema do aperto$||f-g_n||\to d$.

Answer 2

Dado$\epsilon > 0$, podemos encontrar$g\in S$com$||f-g|| < d + \epsilon$. Pois suponha que não; então para todos$g \in S$,$||f-g|| \geq d + \epsilon$, o que significa que$d + \epsilon$é um limite inferior para$\{||f-g|| \big| g \in S\}$. Mas$d + \epsilon > d$, uma contradição, pois$d$é o maior limite inferior.

Agora para qualquer$n$, definir$\epsilon = 1/n$e use o fato acima para encontrar$g_n$com$||f-g_n|| < d + 1/n$. Desde$d \leq ||f - g_n||$por definição, temos$||f-g_n||\rightarrow d$.