Por que esse sistema é linear?

Question

Olá pessoal, estou estudando sinais e sistemas, e meu professor nos disse que

$$y(t) = \int\limits_{ t+T }^{t-T/2} {x(a+T/2)}\mathrm{d} a$$

é um sistema linear.

Mas um primitivo de $x$ não é $ x^2$? Como é possível que seja linear?

Answer 1

Isso não é uma integral da variável $x$. A notação$x(a+T/2)$representa uma função $x(\cdot)$ de variável $a$.

Então, aplicando o teorema fundamental do cálculo, e assumindo que existe uma função $G(a)$ de tal modo que $G'(a) = x(a)$, então você terá:

$$ \int x(a+T/2) da = \int G'(a+T/2)da = G(a+T/2) + C $$

onde a constante de integração, $C$, será omitido na integral definida :

$$ \int_{t+T}^{t-T/2} x(a+T/2) da = \int_{t+T}^{t-T/2} G'(a+T/2)da = G(a+T/2)|_{t+T}^{t-T/2} $$

Portanto, o sistema não tem nada com função quadrada .

Chegando à sua linearidade, você pode mostrar isso em linha com a linearidade do operador integral ...

Answer 2

Os limites integrais aparentemente complicados $t+T$ e $t-T/2$, ou a mudança $(a+T/2)$ com variável independente $a$dentro da integral, ofusque a simplicidade do sistema. Ele calcula uma área sinalizada, em uma janela em constante movimento$[T,-T/2]$ que se move $t$, para uma entrada que tem um deslocamento constante. Todos esses ingredientes sugerem que o sistema pode ser linear.

Para ver isso de uma forma mais clara, pode ser útil simplificar um pouco. Por uma mudança de variável$u=a+T/2$, o sistema $S$ torna-se:

$$y(t) = S(x(t))=-\int_t^{t+3T/2}x(u)\mathrm{d}u\,.$$

Então, pode-se verificar se $S(\lambda x_1(t)+\mu x_2(t))$ é igual a $\lambda S( x_1(t))+\mu S(x_2(t))$. Foi possível verificar já na fórmula original, talvez seja mais simples com a forma simplificada.