Por que uma matriz é chamada de operador?

Question

Ouvi meu professor de matemática mencionar que uma matriz é um operador. Isso me confundiu, então pesquisei o que era uma operadora. Em termos simples, é uma função que mapeia de um espaço para outro. Os exemplos que posso imaginar são os seguintes:

\ begin {equation} f (x) = x ^ {2} \ end {equation} Esta função pega algum número no conjunto de todos os números complexos e dá saída a outro número no conjunto de todos os números complexos e, portanto, é um operador .

\ begin {equation} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f (x) = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (x ^ {2} + 2x + 3) \ end {equation} O$\mathrm{d}/\mathrm{d}x$ aqui está um operador, pois recebe uma função de um conjunto de funções que podem ter coeficientes complexos e produz outra função que pode ter coeficientes complexos.

Então eu entendo porque esses dois são "operadores". Mas vamos dar uma olhada em uma matriz:

\ begin {equation} \ mathbb {M} = \ begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \ end {pmatrix} \ end {equation}

Como isso pode ser chamado de operador? Não é pegar nenhum elemento de um conjunto e, em seguida, produzir um elemento de outro conjunto. Eu acho que é semelhante a um escalar, como$3$—Não é um operador, mas você pode usar um operador, como adição ou multiplicação em escalares, e a adição ou multiplicação pode ser considerada um operador.

Por que uma matriz como $\mathbb{M}$ser chamado de operadora? Pode qualquer$n$-rank tensor então também será chamado de operador se uma matriz for um operador?

Answer 1

Em certo sentido, você está correto ao dizer que uma matriz não é um operador por si só no sentido em que você a define. Na verdade, uma matriz nada mais é do que uma matriz de números. No entanto, normalmente identificamos uma matriz$A\in \mathcal{M}_{n\times m}(\Bbb{R})$ com o mapeamento associado $\Bbb{R}^m\to \Bbb{R}^n$define por multiplicação à esquerda. Desta forma, ele se torna um operador no sentido que você definiu de forma canônica. Por exemplo, sua matriz$M$ define uma transformação $\Bbb{R}^2\to \Bbb{R}^2$ de $$ \begin{bmatrix} 3&2\\ 4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3x_1+2x_2\\ 4x_1+x_2 \end{bmatrix} .$$ Isso é $(x_1,x_2)\mapsto (3x_1+2x_2, 4x_1+x_2)$.