Porque é $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

Seja A uma matriz não quadrada. Por que a seguinte igualdade é verdadeira?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

Tentativa:

Uma vez que o valor próprio de uma matriz quadrada $X$, é o recíproco do autovalor de $X^{-1}$, temos:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Eu tenho o seguinte:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

O que você quer provar é muito simples e é verdadeiro para todas as matrizes quadradas, não apenas aquelas da forma $A^TA$. $\nu$ é um autovalor de $P$ sse $1-\nu$ é um autovalor de $I-P$. Assim, qualquer autovalor de$I-P$ é da forma $\nu=1-\lambda$ Onde $\lambda$ é um autovalor de $P$. Tomando o mínimo,$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ Desde a $1-\lambda$ é minimizado quando $\lambda$ é máximo.