Prisma retangular com volume e área de superfície

Question

Aqui está a pergunta: um prisma retangular tem um volume de $720$ cm$^3$ e uma área de superfície de $666$ cm$^2$. Se os comprimentos de todas as suas arestas são inteiros, qual é o comprimento da aresta mais longa?

Isto é de uma competição previamente cronometrada. Respostas rápidas serão as mais úteis.

Você pode configurar equações e usar as fórmulas de Vieta para obter $x^3+bx^2+333x-720$. Como faço para resolver o problema depois disso?

Answer 1

Nós temos $$xyz=720$$ e $$xy+xz+yz=333,$$ Onde $x$, $y$ e $z$ são naturais.

Agora deixe $x\geq y\geq z$.

Portanto, $$720\geq z^3,$$ que dá $$1\leq z\leq8$$ e $z=3$ é válido, o que dá $x=16$ e $y=15.$

Answer 2

Fatorar $720$ como um produto de três fatores, então, aos pares, seus produtos somam $333$. Depois de ver isso, você sabe que dois dos fatores devem ser estranhos.

Por tentativa e erro, eu consigo que o lado mais longo seja $16$, com os outros dois lados sendo $3$ e $15$. Verificando:

$$3\times15\times16=720,\qquad 2\times(3\times15+15\times16+16\times3)=666.$$