Probabilidade de formar triângulo ao quebrar uma vara

Question

Dada uma vareta e quebrá-la aleatoriamente em dois lugares, qual é a probabilidade de você formar um triângulo com as peças?

Aqui está minha tentativa e a resposta não corresponde, portanto, estou confuso sobre o que deu errado com este argumento.

Eu primeiro denoto as duas posições escolhidas aleatoriamente por $X$ e $Y$, e deixar $A=\max(X,Y)$, $B=\min(X,Y)$. Estamos interessados ​​na probabilidade do evento$\{A>\frac{1}{2}, B>A-\frac{1}{2}\}$. Assim, queremos a distribuição conjunta de$A$ e $B$. Para calcular isso, calculei$$F_{A,B}(w,z)=\mathbb{P}(A\leq w, B\leq z)=\mathbb{P}(A\leq w)-\mathbb{P}(A\leq w, B>z)=\mathbb{P}(X\leq w,Y\leq w)-\mathbb{P}(X\leq w, Y\leq w, X>z, Y>z)$$ Portanto, temos se $z\leq w$ $$F_{A,B}(w,z)=w^2-(w-z)^2$$ de outra forma $$F_{A,B}(w,z)=w^2$$ Então, a densidade da junta de $A$ e $B$ é $$f_{A,B}(w,z)=\frac{\partial^2 F}{\partial w\partial z}(w,z)=2$$ E se $z\leq w$ e $0$de outra forma.
Finalmente$$\mathbb{P}(A>\frac{1}{2},B>A-\frac{1}{2})=\int_{\frac{1}{2}}^1\int_{w-\frac{1}{2}}^w2dzdw=\frac{1}{2}$$ A resposta é $\frac{1}{4}$ em vez disso, mas não consigo descobrir o que deu errado com esse argumento.

Answer 1

Os comprimentos dos lados da vara serão $1-A, A-B$e $B$. Para que o stick forme um triângulo válido, as três condições a seguir devem ser mantidas pela desigualdade do triângulo:

$$\begin{align*} 1-A + A-B>B \to B&<\frac{1}{2} \\ 1-A + B>A-B \to B&>A-\frac{1}{2} \\ A-B+B > 1-A \to A&>\frac{1}{2} \end{align*}$$

Você não incluiu a primeira condição, $B<1/2$, o que atrapalhou sua resposta. Fora isso, todo o resto foi resolvido corretamente; sua resposta estaria correta se apenas a segunda e a terceira condições fossem necessárias.

Answer 2

Esta é minha visão deste problema, não uma depuração de seu procedimento (desculpe)

Na verdade, eu imagino esse problema de 'formar triângulo' 'formando triângulos'.

Seguindo sua definição de X, Y, a escolha conjunta de X, Y são uniformes na célula unitária (densidade 1). A tarefa que resta é encontrar a posição de corte de X e Y de modo que os 3 segmentos resultantes possam formar um triângulo.

Considere o caso em que Y> X (então o comprimento de três segmentos são X, YX, 1-Y). Inserindo o fato de que a soma de quaisquer dois lados é maior que o terceiro. As restrições são:$X + (Y-X) > 1- Y , X + (1-Y) > Y-X$ e $Y-X + 1-Y > X$, resultando em $Y>0.5, X > Y - 0.5$ e $X < 0.5$, que o limite da Área A1 na minha figura. Com argumento semelhante, você pode esboçar a Área A2.

As áreas geométricas de A1 e A2 são 1/8 respectivamente, soma essas duas, é assim que obtenho 1/4.

Answer 3

A simulação a seguir em R examina um milhão dessas varas quebradas aleatoriamente, encontra os comprimentos das três peças e, finalmente, encontra o comprimento da peça mais longa. Se o mais longo tiver menos da metade, você pode fazer um triângulo. Responda:$0.250\pm 0.001.$

set.seed(2020)
mx = replicate(10^6, max(diff(c(0, sort(runif(2)), 1))))
mean(mx < .5)
[1] 0.250222       # aprx 1/4
2*sd(mx < .5)/1000
[1] 0.000866282    # aprx 95% marg of sim error

Nota: Um problema relacionado, mas diferente, quebra a vara uma vez uniformemente ao acaso e, em seguida, quebra a peça mais longa uniformemente ao acaso.