Probabilidade de log e estatística suficiente de pdf exponencial

Question

Deixei $X_1, . . . , X_n$ ser uma amostra aleatória de $f(x,θ)=exp \{−(x−θ)\}exp\{−exp\{−(x−θ) \} \}$ com$−∞< θ <∞, −∞< x <∞ $. Tenho que encontrar uma estatística suficiente e completa e um MLE para$θ$.

Não tenho certeza se minha abordagem está correta ou se há uma maneira de simplificar os cálculos.

Para obter estatísticas suficientes, tentei o seguinte: $$ p(X,θ) = \prod _{i=1}^n e^{-\left(x_i-\theta \right)} e^{-e^{-\left(x_i-\theta \right)}} $$ $$ =e^{\left(n\theta \right)}e^{\left(-\sum_{i=1}^{n}x_i\right)}e^{-\sum_{i=1}^{n}e^{-\left(x_i-\theta \right)}}$$ $$=e^{\left(\theta-\bar{x} \right)n}e^{-\sum_{i=1}^{n}e^{-\left(x_i-\theta \right)}}$$

E definido $T(X)=\bar{x}$ e $h(x)=1$. Mas estou preso em provar que essa estatística está completa.

Para o MLE aplicou a probabilidade Log

$$l(\theta,x)= n\theta-\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i=1}^{n}e^{-\left(x_i-\theta \right)} $$

$$\frac {\partial [l(\theta,x)] } {\partial\theta}=n-\sum_{i=1}^{n}e^{-\left(x_i-\theta \right)}=0$$

Gostaria de saber se existe uma maneira de simplificar isso, ou uma abordagem melhor para obter o MLE.

Answer 1

1. Em primeiro lugar, seu estimador suficiente está errado.

A densidade pode ser escrita da seguinte maneira

$$f_X(x|\theta)=e^{\theta-x-e^{\theta-x}}$$

Isso pode ser visto da seguinte maneira

$$f_X(x|\theta)=e^{-x}e^{\theta-e^{\theta}e^{-x}}$$

Isto mostra que $f_X(x|\theta)$pertence à família Exponencial, portanto

$$S=\Sigma_x e^{-x}$$

é suficiente e completo.

1. MLE. Sem fazer nenhum cálculo, apenas neste ponto você sabe que o MLE é uma função do estimador suficiente (é uma propriedade do MLE)

A probabilidade é

$$L(\theta) \propto e^{n\theta-e^{\theta}\Sigma_xe^{-x}}$$

vamos pegar o log

$$l(\theta)=n\theta-e^{\theta}\Sigma_xe^{-x}$$

vamos derivar $l(\theta)$

$$l^*(\theta)=n-e^{\theta}\Sigma_xe^{-x}$$

O que leva imediatamente a

$$\hat{\theta}_{ML}=log\frac{n}{\Sigma_xe^{-x}}=log \frac{n}{S}$$

... uma função de $S$, como já conhecido.