Probabilidade de um paciente ter doença $X$

Question

Doença $X$ está apenas presente em $0.1$% de pacientes testados. O teste é positivo$99$% do tempo em que o paciente tem doença $X$. Se você fizer o teste para a doença e for positivo, a probabilidade de você ter doença$X$ é $10$%. Qual é a probabilidade de uma pessoa ter um teste positivo quando não tem doença$X$?

O que eu tentei:

Deixei $A$ ser a probabilidade de que o paciente tenha doença $X$e $B$ ser a probabilidade de que o teste seja positivo.

Então $P(A)=0.001$, que implica $P(\bar{A})=0.099$ e $\displaystyle P(B/A)=0.99$. Agora temos que encontrar$\displaystyle P(B/\bar{A})$.

Também temos aqui: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$

Parece que podemos aplicar o teorema de Bayes. Mas não entendo como aplicar a fórmula aqui.

Answer 1

Usando o Teorema de Baye, a probabilidade de teste positivo é:

\ begin {align *} P (\ text {disease} | \ text {+ test}) = & \ \ frac {P (\ text {+ test} | \ text {disease}) P (\ text {disease}) } {P (\ text {+ teste})} \\ P (\ text {+ teste}) = & \ P (\ text {+ teste} | \ text {doença}) P (\ text {doença}) + P (\ text {+ test} | \ text {$\neg$doença}) P (\ text {$\neg$doença}) \\ = & \ .99 * 0,001 + 0,999x \ end {alinhar *}

Podemos encontrar $x = P(\text{+test}|\text{$\ neg$disease})$ resolvendo a seguinte equação (estou misturando porcentagens com decimais):

\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}

Isso significa que a probabilidade de um teste positivo, uma vez que eles não têm a doença, é de aproximadamente $0.89\%$.