Problema comum de logaritmo

Question

Cada vez que um raio de luz passa por uma placa de vidro, ele perde $\frac{1}{10}$de sua intensidade. Quantas peças de placas de vidro semelhantes são necessárias para tornar a intensidade da luz menor que$\frac{1}{3}$ de seu valor original?

Deixei $x$ser o valor de intensidade original do raio de luz. Deixei$n$ ser o número de placas de vidro semelhantes necessárias para tornar a intensidade da luz menor que $\frac{1}{3}$ de seu valor original.

portanto $x(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})x$

$(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})$

$log_{10} {10^-n} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

$n × log_{10} {10} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

Desde a $log_{10}{2} ≈ 0.3010$ e $log_{10}{3} ≈ 0.4771$, então

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ -0.1761$

Eu tenho uma resposta negativa para $n$. Foi aqui que fiquei preso. Quaisquer comentários e sugestões serão muito apreciados. Agradeço antecipadamente.

Answer 1

O raio perde $\frac{1}{10}$de sua intensidade. Isso significa que a intensidade do raio depois que sai da placa de vidro é$\frac{9}{10}x$ (assumindo que $x$ é a intensidade original).

Answer 2

A intensidade transmitida por uma única placa é $0.9$, e por $n$ pratos são $0.9^n$. Se você quer o menor$n$ de modo que este valor não seja maior que $0.3333$,

$$0.9^n\le0.3333$$ então

$$n\log0.9\le \log0.3333$$

$$n=\left\lceil\frac{\log0.3333}{\log0.9}\right\rceil=11.$$

Verifica:

$$0.9^{10}=0.3487\cdots,\\0.9^{11}=0.3138\cdots$$

---

Notas:

• A base do logaritmo não importa, pois você está calculando uma proporção.

• Como a proporção não é próxima de um inteiro, usando a aproximação $0.3333$ está bem.

Answer 3

Depois de passar por um copo, permanece a intensidade $= \frac{9x}{10}$ se a intensidade inicial é $x$.

Depois de passar $n$ óculos, a intensidade restante $= (\frac{9}{10})^n \times x \lt \frac{x}{3}$

Answer 4

Você também pode usar apenas alguns cálculos básicos $$\frac{dx}{dn}=\frac{x}{10}$$ $$\Rightarrow \int_{x}^{\frac{x}{3}}\frac{1}{x}dx=-\int_{0}^{n}\frac{1}{10}dn$$ $$\Rightarrow \ln{\frac{1}{3}}=-\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow \ln{3}=\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow n≈10.981…$$

Como precisamos $n$ para ser um número natural, $\fbox{n≥11}$