Problema de contagem: pastas

Question

Suponha que você e um amigo recebam nove pastas de aparência idêntica, três das quais contêm US $ 100, enquanto as demais estão vazias. Vocês dois se revezam escolhendo as pastas (com a primeira pessoa escolhendo 5 e a segunda escolhendo 4), e somente no final as pastas são abertas. Eu respondi de 1 a 4 partes dessas perguntas de HW, mas não tenho certeza de como fazer a última:

1. Se você for primeiro, qual é a probabilidade de você pegar uma pasta vazia na primeira vez.
2. Digamos que você foi primeiro e pegou uma pasta vazia. Qual é a probabilidade de seu amigo também pegar uma pasta vazia no primeiro turno, visto que você também escolheu uma vazia no primeiro turno?
3. Digamos que você vá primeiro e escolha uma pasta com 100 dólares. Qual é a probabilidade de seu amigo pegar uma pasta vazia na primeira jogada, visto que você também escolheu uma com 100 dólares na primeira jogada.
4. Se o jogo terminasse depois que cada pessoa tivesse apenas uma chance, mostre que a probabilidade de você escolher uma pasta com 100 dólares é a mesma, independentemente de você começar ou não.
5. Se o jogo terminasse assim que cada pasta fosse retirada, seria melhor começar ou ir em segundo lugar?

EDITAR: O objetivo do jogo é ganhar o mínimo de dinheiro possível, já que 'jogar é ruim'.

---

Minha tentativa:

1. A resposta é não. várias maneiras de escolher uma pasta vazia dividida pelo não. várias maneiras de escolher uma pasta. Isto é 6C1 (visto que existem 6 pastas vazias) dividido por 9C1 que é igual a 2/3.

2. Eu acredito que a resposta para isso é 2/3 (da parte 1) multiplicado por 5C1 (já que agora há 5 pastas vazias restantes e o amigo escolhe uma delas) dividido por 8C1 (já que agora há apenas 8 caixas restantes para escolher ) Isso é de aprox. 0,4167.

3. Acredito que este seja $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $, pois a primeira pessoa deve escolher uma das três pastas de dinheiro de um total de 9, enquanto a segunda pessoa deve escolher uma das 6 pastas vazias das 8 restantes. Isso é 0,25.

4. Pensei em abordar isso considerando quatro eventos diferentes, onde:

   • Evento A: Você vai primeiro e ganha 100 dólares, depois o amigo escolhe vazio.
   • Evento B: Você vai primeiro e ganha 100 dólares, depois o amigo também ganha 100 dólares.
   • Evento C: Seu amigo vai primeiro e ganha 100 dólares, então você também ganha 100 dólares.
   • Evento D: Seu amigo vai primeiro e escolhe vazio, então você ganha 100 dólares.

   Portanto, se você for primeiro, a probabilidade de obter 100 dólares é a probabilidade do evento A mais a probabilidade do evento B. Se você for o segundo, é a probabilidade do evento C mais a probabilidade do evento D. Ambas as expressões são $ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $ que é 1/3.

5. Esta parte estou confuso sobre como abordar, já que existem muitas sequências diferentes possivelmente de escolher 6 maletas vazias e 3 com 100 dólares.

Qualquer conselho seria muito apreciado.

Answer 1

Se você for primeiro, o número de malas de "dinheiro" que você recebe segue uma distribuição hipergeométrica , uma vez que suas cinco malas são retiradas sem reposição de uma população de$3$ malas de "dinheiro" e $6$ os vazios.

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

Se você for o segundo, as probabilidades correspondentes estarão na ordem inversa. Você pode ver que o jogador que vai primeiro tende a ganhar mais malas de dinheiro.

Answer 2

Sua resposta em # 2 está errada.

Digamos que você foi primeiro e pegou uma pasta vazia. Qual é a probabilidade de seu amigo também pegar uma pasta vazia no primeiro turno, visto que você também escolheu uma vazia no primeiro turno?

Você deve presumir que já foi primeiro e pegou uma pasta vazia. Isso significa que restam 8 pastas, das quais apenas 5 estão vazias.

A resposta é

$$\frac{5}{8}.$$

Pelo mesmo motivo acima, a resposta para # 3 é

$$\frac{6}{8}.$$

# 4 é complicado e pode ser atacado de duas maneiras diferentes.

A abordagem pedestre é que

• sua chance de pasta com dinheiro, se você for primeiro é $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• se você for o segundo, há duas possibilidades - ou seu amigo escolheu uma pasta vazia e você escolheu uma com dinheiro, ou seu amigo escolheu uma pasta com dinheiro e você também escolheu uma com dinheiro.

  As probabilidades combinadas aqui são $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

A análise mais elegante é raciocinar que escolher uma pasta é matematicamente equivalente a receber uma pasta aleatoriamente. Se um moderador escolher duas pastas aleatoriamente, uma para você e outra para seu amigo, a chance de sua pasta conter dinheiro não é afetada pelo fato de o moderador entregar a pasta a você antes ou depois de o moderador entregar a pasta a seu amigo.

Editar
eu interpretei mal

Se o jogo terminasse assim que cada pasta fosse retirada, seria melhor começar ou ir em segundo lugar?

Se você for primeiro, receberá 5 pastas e seu amigo receberá apenas 4. Isso equivale a fingir que existem 10 pastas, em vez de 9, e que a 10ª pasta é forçada a ficar vazia.

Portanto, se você for primeiro, terá 5 pastas, qualquer uma das quais pode conter dinheiro. Se você for o segundo, uma de suas pastas (a 10ª pasta imaginária) será forçada a ficar vazia.

Portanto, a pessoa que vai em segundo lugar pode esperar obter menos dinheiro.