Prova de que existe essa simetria

Question

O exemplo 3.8 de Griffiths diz

Uma esfera de metal sem carga de raio $R$ é colocado em um campo elétrico uniforme $\mathbf{E}=E_{0} \hat{\mathbf{z}} .$O campo irá empurrar a carga positiva para a superfície "norte" da esfera e, simetricamente, a carga negativa para a superfície "sul" ...

Qual é a prova de que temos uma distribuição simétrica de carga?

Answer 1

A única diferença entre cargas positivas e negativas é o sinal da força que experimentam em um campo externo. O campo externo está junto$\mathbf{\hat{z}}$, e assim as cargas positivas serão empurradas "para cima", e exatamente a mesma coisa acontecerá com as cargas negativas, exceto na direção oposta.

Esqueça a esfera por um momento e considere um dipolo simples e convença-se de que as cargas positivas e negativas se comportarão "simetricamente" em um campo externo constante. Agora imagine que sua esfera "sem carga" seja composta inteiramente de tais "dipolos".

Answer 2

Imagine que, antes de considerar a carga que está na esfera, você vira o universo na direção z. Isso deixa a esfera igual, mas inverte o campo elétrico porque depende de$ \mathbf{\hat z}$. Agora vire todas as cargas positivas com todas as cargas negativas (isso é chamado de conjugação de carga). Isso novamente inverte o campo elétrico. Estamos agora exatamente onde começamos. A transformação flip + conjugação de carga fornece as mesmas condições iniciais, portanto, deve fornecer a mesma densidade de carga final. Isso significa que qualquer densidade de carga obtida deve permanecer a mesma depois de realizar a conjugação flip + carga, que é o mesmo que dizer que a distribuição de carga é simétrica.

Answer 3

Para começar, o campo elétrico é definido como o gradiente negativo do potencial, o campo elétrico em qualquer ponto $(x, y, z)$ é $$ \begin{array}{c} E_{1}=E_{0} \hat{\mathbf{x}}+E_{0} \frac{\sigma_{1}-\sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \frac{R^{3}}{r^{5}}\left[\left(2 x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \hat{\mathbf{x}}+(3 x y) \hat{\mathbf{y}}+(3 x z) \hat{\mathbf{z}}\right](r>R) \\ E_{2}=E_{0} \frac{3 \sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \hat{\mathbf{x}}(r<R) \end{array} $$

De acordo com a Lei dos Campos Elétricos de Gauss, a carga elétrica acumulada na superfície da esfera pode ser quantificada por $$ \begin{array}{c} \int_{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \mathrm{d} V=\int_{V} \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \mathrm{d} V=Q \end{array} $$e \ begin {equation} \ mathbf {e} = - \ nabla V \ end {equation} Com base no teorema de Gauss, a densidade de carga superficial na interface é dada por

$$ \mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{n}-\mathbf{e}_{2} \cdot \mathbf{n}=\frac{\rho_{s}}{\varepsilon_{0}} $$ Então, as quantidades de carga acumuladas na superfície são $$ \oint_{S} \rho_{s} \mathrm{d} a=\varepsilon_{0} \oint_{S}\left(\mathbf{e}_{1 n}-\mathbf{e}_{2 n}\right)=\varepsilon_{0} \oint_{S} 3 \mathbf{E}_{0} R^{2} \frac{\sigma_{1}-\sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \cos \theta \sin \theta \mathrm{d} \phi \mathrm{d} \theta $$

Após um árduo cálculo, você obtém uma distribuição simétrica.