Prova do critério de Abel

Question

Quero provar a seguinte afirmação:

Deixe ser $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ uma série convergente e $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$uma sequência monótona e limitada. Então$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ também é convergente.

Eu sei que já existem algumas perguntas sobre este problema, no entanto, a maioria delas tem suposições adicionais (ou $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ com $b_k\geq 0$ para todos $k$)

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Minha abordagem:

Nós definimos $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. Como$A_n$ é convergente existe um limite $A$ de tal modo que $|A_n|\leq A$ para todos $n$. Nós sabemos isso$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ é convergente e, portanto, a sequência $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$também é convergente (produto de duas sequências convergentes). Deixe ser$n_1$ e $n_2$ dois índices tais que para todos $n,m$ com $n>m>n_1$ segura $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ e para todos $n,m$ com $n>m>n_2$ segura $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. Agora nós definimos$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. Com isso em mente, aplicamos o lema de Abel (soma por partes) e ele segue para todos$n>m>n_0$:

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ E se $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ está diminuindo monotonicamente o seguinte: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

E se $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ está aumentando monotonicamente o seguinte: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ Então, em ambos os casos $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ satisfaz o critério de Cauchy e, portanto, é convergente.

Isso está correto ou existe uma abordagem mais elegante / rápida?

Answer 1

Por outra abordagem, podemos mostrar que a sequência de somas parciais converge sem usar o critério de Cauchy. Temos existência de limites$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ e $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

Somando por partes, obtemos

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

As séries $\sum(b_k - b_{k-1}) $ converge desde $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ Como $n \to \infty$. Desde a$(A_k)$ é uma sequência limitada e os termos $(b_k- b_{k+1})$ são todos do mesmo signo, segue-se que $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ é convergente.

Portanto, a série $\sum a_kb_k$ converge desde

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

Decorre do critério de Dirichlet. Na verdade, suponha$b_k \le b_{k+1}$ e $\lim b_k = b$.

Então

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

A primeira soma converge por se tratar de uma hipótese e a segunda soma segue o teorema mencionado.

Mas isso não é uma melhoria em relação ao seu argumento, uma vez que a prova usual do critério de Dirichlet é feita através da soma das partes.