Prova do seno da soma

Question

Estou provando a fórmula $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$usando a fórmula de Euler. Esta fórmula de soma é necessária ao provar a derivada de seno.

Estou apenas me perguntando se então farei um argumento circular, uma vez que todas as provas da fórmula de Euler que vi requerem o conhecimento das derivadas de seno e cosseno.

Answer 1

Ahlfors em seu livro de análise complexa define $e^z$ para satisfazer a equação $f'(z)=f(z)$ para todos $z$ no plano complexo, e $f(0)=1$. Desta definição, ele deriva a expansão da série de potências de$e^z$e mostra que converge em todos os lugares. Ele também mostra$e^{a+b}=e^ae^b$usando a regra de Leibniz para derivadas. Então define$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ e $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. Desta fórmula de Eulers é derivada sem a derivada de$\sin$.