Prova do Teorema de Cantores

Question

Estou trabalhando em minha própria prova para o teorema dos cantores de que dado qualquer conjunto A, não existe uma função f: A -> P (A) que é on. Eu queria saber se seria possível provar isso mostrando que a cardinalidade de A é menor que P (A) usando a prova de que os elementos do conjunto A são n e P (A) é 2 ^ n então n <2 ^ n para todos os números naturais (por indução). e por ser menor a cardinalidade, não é sobrejetiva, visto que nem todos os elementos do codomínio são mapeados pelo domínio?

Answer 1

Se você tentar estender este argumento para conjuntos infinitos, veja como funciona:

• Deixei $\alpha$ seja a cardinalidade de $A$.
• Então a cardinalidade de $\mathcal P(A)$ é $2^\alpha$, essencialmente pela definição da notação $2^\alpha$.
• Então, queremos usar o fato de que $\alpha < 2^\alpha$ ...

... mas a definição (ou uma definição equivalente) da asserção "$\alpha < 2^\alpha$"é precisamente que não há nenhum mapa de $A$ para $\mathcal P(A)$.

Ao contrário dos cardeais finitos, onde existem provas baseadas em cálculo ou combinatórias do fato $n<2^n$, não temos uma prova da afirmação $\alpha < 2^\alpha$ para cardeais infinitos $\alpha$ isso é mais simples do que provar a declaração original.