Prova que $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ sse $f$ é injetivo

Question

Eu pretendo mostrar isso $f\colon X\to Y$ é iff injetivo para qualquer família $(A_{\lambda})_{\lambda\in L}$ de subconjuntos de $X$ temos $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

Primeiro, vamos provar que para $f\colon X\to Y$e $A\subset X$, $f$ é injetivo iff $A= f^{-1}(f(A))$

Prova. ($\Rightarrow$) Por contradição. E se$f$ é injetivo, então para qualquer $x_1,x_2\in X$ temos $x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)$. Escolher$x_1\in A\subseteq X$ e $x_2 \in X\setminus A$, é óbvio que $f(x_1)\in f(A)$ e $f(x_2)\in f(X\setminus A)$. Então todo$y\in f(A)$, Porque $f$ é injetivo, corresponde a um único ponto $x\in A\subseteq X$ de tal modo que $f(x)=y$. Então para todos$A\subseteq X$ Nós podemos dizer que $f^{-1}(f(A))=A$. Se houvesse um elemento$x_3\in X\setminus A$ de tal modo que $f(x_3)\in f(A)$, então $f$ não seria injetivo porque $f(x_3)\in f(A)$, exatamente porque está localizado em $f(A)$, teria que corresponder a algum $x_3\in A\subseteq X$. Então a injetividade de$f$ implica que para todos $A\subseteq X$ temos $f^{-1}(f(A))=A$.

($\Leftarrow$) Por contradição. Considerar$x_1\in A\subseteq X$ e $x_2\in X\setminus A$. Então$f(x_1)\in f(A)$ e $f(x_2)\not\in f(A)$. Nós temos isso$f^{-1}(f(A)) = A$, então cada elemento em $f(A)$ corresponde a algum elemento em $A\subseteq X$. Considere isso$f$ não é injetiva, ou seja, o caso em que $f(x_1)=f(x_2)\in f(A)$ e $x_1\neq x_2$. Teríamos então$f^{-1}(f(A))\neq A$, Porque $x_2\not\in A$. Então,$f$ é injetivo.

Agora, para a prova principal.

Prova . Prova direta de que$f$ é injetivo $\iff f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

\ begin {alinhe *} f (x) \ in f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda) & \ iff x \ in f ^ {- 1} (f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L } A_ \ lambda)) \\ & \ iff x \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda \ \ text {porque $f$ é injetivo} \\ & \ iff x \ in A_ \ lambda, \ text {para todos} \ \ lambda \ in L \\ & \ iff f (x) \ in f (A_ \ lambda), \ text {para todos } \ \ lambda \ in L \\ & \ iff f (x) \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} f (A_ \ lambda) \ end {alinhar *}

Posso fazer isso?

Eu não poderia mostrar isso se $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ então $f$ é injetivo sem usar o fato de que $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ só fica se e somente se $f^{-1}(f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda)) = \bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda$, e isso só é verdade se e somente se $f$ é injetivo.

Answer 1

Um argumento muito mais simples é possível. É fácil ver que é sempre verdade que

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$$

para qualquer família $\{A_\lambda:\lambda\in\Lambda\}$ de subconjuntos de $X$. Suponha que$f$ é injetivo, e deixe $x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$. Então para cada$\lambda\in\Lambda$ há um $a_\lambda\in A_\lambda$ de tal modo que $x=f(a_\lambda)$. Consertar$\lambda_0\in\Lambda$; Desde a$f$ é injetivo, $a_\lambda=a_{\lambda_0}$ para cada $\lambda\in\Lambda$, assim $a_{\lambda_0}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$, e $x=f(a_{\lambda_0})\in f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$. Portanto,

$$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\subseteq f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$$

e, portanto

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\,.$$

Agora suponha que $f$não é injetivo. Então há$x,y\in X$ de tal modo que $x\ne y$, e $f(x)=f(y)$. Deixei$A_0=\{x\}$ e $A_1=\{y\}$; então

$$\varnothing=f[\varnothing]=f[A_0\cap A_1]\subsetneqq f[A_0]\cap f[A_1]=\{f(x)\}\,.$$