Provando a monotonicidade de uma função implícita

Question

Eu estava estudando a propriedade da função Beta e encontrei a seguinte igualdade:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$

Onde $\text{B}$ significa a função Beta.

Eu posso mostrar isso para cada $\alpha>0$, existe um único $k \in (0,\infty)$st a igualdade acima se mantém. O que me interessa é que quando ploto o gráfico de$k$ em termos de $\alpha$ no Wolfram, acontece que $k$ é na verdade uma função estritamente decrescente wrt $\alpha$.

Não pude provar a afirmação acima, mas tenho algumas intuições. A integração por partes resulta em que a igualdade acima é equivalente a:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$

Então quando $\alpha$ é grande, o termo $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ torna-se dominado em $\lambda=1/2$. Portanto,$2k/4$ deve ficar perto de $1$também. Quando$\alpha$ é pequeno, $k$ deve ser significativamente maior do que $2$ para compensar a parte onde $\lambda$ Fique longe de $1/2$.

Quaisquer dicas / sugestões são muito apreciadas.

Answer 1

Deixei $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. Pelo Teorema da Função Implícita aplicado a$R\left(a,k\right)=0$ temos

$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$

Porque $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ e $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. Deixe-me saber se isso está claro.