Provando a sobrejetividade de uma função

Question

A prova da injetividade de uma função começa com linhas semelhantes às seguintes:

Assuma isso$f(x_{1}) = f(x_{2})$. Se$x_{1} = x_{2}$, então$f$é uma injeção.

A verificação da sobrejetividade de uma função requer a resolução da inversa e assim por diante. Existe uma maneira semelhante de provar a sobrejetividade de uma função usando um processo semelhante ao acima?

Answer 1

Definir$f : X \to Y$. Presumir$y \in Y$. Se você puder mostrar que existe pelo menos um$x \in X$de tal modo que$f(x) = y$, então você pode mostrar que$f$é sobrejetivo.

Alternativamente, digamos que você defina uma função$g : Y \to X$. Se você pode mostrar isso$(f \circ g)(y) = y$para todos$y \in Y$, então$g$é inversa à direita de$f$e, portanto, sobrejetora.

Alternativamente, deixe$f^{-1}(B)$denotar a pré-imagem de$B$, ou seja, não é inversa, mas sim

$$f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$$

Então se para todos$B \subseteq Y$temos$f(f^{-1}(B)) =B$, então$f$é sobrejetivo. Da mesma forma, para todos$B,C$de tal modo que$B\subsetneq C \subseteq Y$,$f$é sobrejetivo se$f^{-1}(B) \subsetneq f^{-1}(C)$.

Todos os quatro são equivalentes à sobrejetividade para uma função$f$. Embora, na minha opinião, os dois primeiros sejam os principais de utilidade.

Answer 2

Uma função$f: X \to Y$é sobrejetiva se e somente se

para cada$y \in Y$existe um$x \in X$, de tal modo que$f(x) = y$.

Vamos considerar um exemplo. Deixar$f: \mathbb R \to \mathbb R$ser definido como$$f(x) = 2x + 1 \; .$$Queremos mostrar que$f$é sobrejetivo. Então deixe$y \in \mathbb R$ser arbitrário. Precisamos encontrar um$x \in \mathbb R$, de tal modo que$f(x) = y$. Então a equação$$2x + 1 = y$$deve valer para que isso seja verdade. Resolvendo esta equação para$x$dá$$ x = \frac{y-1}{2} \; . $$Agora terminamos: para$y \in \mathbb R$nós escolhemos$$ x = \frac{y-1}{2} \; , $$então$$ f(x) = f\left(\frac{y-1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{y-1}{2} + 1 = y - 1 + 1 = y \; . $$

Answer 3

Outra maneira de provar a sobrejetividade ou sobre é por$\forall b \in B \space \exists a \in A [f(a) = b]$

Então um exemplo seria$f(x) = 2x+1$Onde$f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$.$$\text{Let $b$ be an arbitrary number in the codomain.} \\ \text{Let $a = \frac{b-1}{2}$} \\ f(a) = 2a +1 \\ f(a) = 2 (\frac{b-1}{2}) +1 \\ f(a) = b-1+1 \\ f(a) = b \\ \text{Since $b$ is arbitrary we can say this function is surjective.}$$