Provando $e^z$ é holomórfico

Question

Eu li em algum lugar que $e^z$é uma função holomórfica, mas não consigo pensar em uma maneira fácil de provar isso. Pensei em usar as equações de Cauchy Riemann, mas isso provavelmente é um exagero. Existe uma abordagem simples para mostrar que essa função é holomórfica?

Answer 1

Depende da sua definição de $e^z$. A definição mais padrão é defini-la por meio da série de potência $$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, $$ que é facilmente visto como convergente em todos os lugares. Então você pode apenas usar o teorema geral de que uma série de potências define uma função holomórfica em qualquer lugar dentro de seu raio de convergência.

Answer 2

$e^{z}$ é definido como :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}.$$

O raio de convergência desta série é $\infty$. Portanto, é uma função analítica.

Answer 3

Outras respostas assumem que você está definindo o exponencial em termos de série de potências. Se você definir$e^z = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$, você vê o seguinte:

1. Como ambas as funções de coordenadas são infinitamente diferenciáveis, $e^z$ é infinitamente diferenciável em função de duas variáveis
2. $\frac{\partial}{\partial x} e^z = e^z$
3. $\frac{\partial}{\partial y} e^z = ie^z$

Agora é tão simples quanto aplicar as equações de Cauchy-Riemann.

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Para resolver se é "exagero" - em primeiro lugar, se funciona, funciona . Se preocupar com o exagero quando você nem terminou de resolver o problema ainda é, bem,https://stackify.com/premature-optimization-evil/.

Em segundo lugar, à medida que o curso prossegue, você deve acumular uma lista de condições que são equivalentes à holomorfia ("complexificável em todos os pontos de um conjunto aberto", "satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos do domínio", "é igual série de potências em todos os pontos de um conjunto aberto ", ...).

Em vez de tentar escolher o "melhor" de cara, provavelmente seria mais instrutivo percorrer a lista e ver como cada condição se aplica a$e^z$. Isso (a) permite que você pratique com todo o seu conjunto de ferramentas e (b) ajude você a adequar melhor a ferramenta ao problema no futuro.