Provar que $B = (A \cap B) \cup (A' \cap B)$. [duplicado]

Question

Comecei a usar a propriedade distributiva para abrir a expressão, mas continua indefinidamente.

$ (A \cap B) \cup (A' \cap B) = B \cap (A \cup B) \cap (A' \cup B)$ (Usando propriedade distributiva)

Se eu começar a abrir por distributiva, a expressão fica cada vez maior, como devo resolver?

Answer 1

$B = (A \cup A') \cap B = (A \cap B) \cup (A' \cap B)$.

Answer 2

Levar $ x \in B$

• E se $x \in A$, então $x \in (A \cap B) \implies x \in (A \cap B)\cup (A' \cap B)$.
• E se $x \notin A$, então $x \in A'$. Isso implica$x \in (A' \cap B) \implies x \in (A \cap B)\cup (A' \cap B)$.

portanto $B \subseteq (A \cap B)\cup (A' \cap B) \ \ (*)$

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Levar $x \in (A \cap B)\cup (A' \cap B)$. Então, definitivamente,$x \in B$.

portanto $ (A \cap B)\cup (A' \cap B) \subseteq B \ \ (**)$

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$(*) \land (**)\implies B = (A \cap B)\cup (A' \cap B) \ \ \blacksquare$

Answer 3

Para uma explicação visual, este diagrama de Venn deve deixar claro:

$B$ é a união das duas áreas destacadas, $A \cap B$ e $A' \cap B$. Portanto,$B = (A \cap B) \cup (A' \cap B)$.