Provar que $l^2(I)$ é um Espaço Hilbert.

Question

Este problema foi retirado do A Course in Functional Analysis de Conway, seção 1.1, problema 2

Verifique isso $l^2(I)$ (Exemplo 1.7) é um Espaço de Hilbert.

Abaixo está minha tentativa de solução. Qualquer comentário será muito bem vindo!

Para mostrar integridade, suponha que tenhamos uma sequência de Cauchy $\{x_n\}\in l^2(I)$. Nós vemos que:\begin{align} ||x_n - x_m||^2 =\sum_{i} ||(x_n(i) - x_m(i)||^2 \end{align}

De modo a $||x_n - x_m|| \rightarrow 0$ Como $m,n \rightarrow \infty$ também deve implicar $||x_n(i) - x_m(i)|| \rightarrow 0$

Portanto, $x_n(i)$ é uma sequência de Cauchy sobre os números reais / complexos, devemos convergir para um limite, digamos $x(i)$. Vamos construir$x(i)$ assim para todos $i \in I$ e mostrar isso $x(i) \in l^2(I)$.

Nós primeiro mostramos isso $x(i) = 0$ para todos, exceto um número contável de $i$. Suponha o contrário. Então, para qualquer$x_n$, $||x - x_n||^2$sendo uma soma de incontáveis ​​muitos elementos diferentes de zero, que não podem ser limitados. A contradição prova o resultado desejado.

Agora tentamos mostrar que $\sum_{i\in I}|x(i)|^2 < \infty$. Mas sabemos que para qualquer$\epsilon>0$, é suficientemente grande $n$ tal que temos $||x - x_n|| < \epsilon$. portanto

\begin{align} \sum_{i \in I}|x(i)|^2 &= ||x||^2\\ &= ||x - x_n + x_n||^2 \leq \left(||x-x_n|| + ||x_n||\right)^2 \quad \text{ by triangle inequality}\\ &< \left(\epsilon + ||x_n||\right)^2\\ &< \infty \end{align}

onde notamos na última linha que $||x_n||< \infty$ Desde a $x_n \in l^2(I)$. Assim, mostramos$x \in l^2(I)$ como desejado.

Answer 1

Você não sabe disso $\lVert x - x_n\rVert < +\infty$ até que você tenha mostrado que $x \in \ell^2(I)$.

O truque é pegar uma finita $F \subset I$, então $$\sum_{i \in F} \lvert x(i)\rvert^2 = \lim_{n \to \infty} \sum_{i \in F} \lvert x_n(i)\rvert^2 \leqslant M := \sup_n\: \lVert x_n\rVert < +\infty\,.$$ Desde o limite $M$ é independente de $F$, segue que $$\sum_{i \in I} \lvert x(i)\rvert^2 \leqslant M\,,$$ conseqüentemente $x \in \ell^2(I)$. Em seguida, resta mostrar que$\lVert x - x_n\rVert \to 0$, que fazemos com o mesmo truque, $$\sum_{i \in F} \lvert x(i) - x_n(i)\rvert^2 = \lim_{m \to \infty} \sum_{i \in F} \lvert x_m(i) - x_n(i)\rvert^2 \leqslant \limsup_{m \to \infty} \lVert x_m - x_n\rVert^2\,.$$ Isso novamente vale para todos os finitos $F \subset I$ com o limite não dependendo de $F$, conseqüentemente $$\lVert x - x_n\rVert^2 \leqslant \limsup_{m \to \infty} \lVert x_m - x_n\rVert^2\,.$$ Desde a $(x_n)$ é uma sequência de Cauchy, o lado direito tende a $0$ Como $n \to \infty$.