Prove esse espaço duplo de $\ell^1$ é $\ell^{\infty}$
Prove esse espaço duplo de $\ell^1$ é $\ell^{\infty}$
Minha tentativa : consegui a resposta aqui, mas não consigo entender a resposta
nós sabemos que a norma de $ x\in \ell^1$ É dado por $||x||_1=\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$
norma de $ x\in \ell^{\infty}$ É dado por $||x||_{\infty}=\sup_{k\in \mathbb{N}}|a_k|$
Agora aqui começa a minha prova :
Desde a $\ell^1$ tem dimensão infinita porque contém a sequência infinita na forma $(0,0,\dots,1,0,\dots)$
Então existe uma base $\{e_1,e_2,\dots,e_k\dots\}$ do $\ell^1$ Onde $e_k=M_{jk}=\begin{cases} 1 &\text{ if } j=k \\ 0 & \text{ if } j \neq k. \end{cases}$
Isso implica que cada $x \in \ell^1$ pode ser escrito como $x=a_1e_1+a_2e_2+\dots$
Agora pegue um funcional linear limitado $f$ do $\ell^1$
$f: \ell^1 \to \mathbb{R}$ definido por $f(x)= f(a_1e_1+a_2e_2+\dots)= a_1f(e_1)+a_2 f(e_2)+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}a_kf(e_k)$
Depois disso, não posso prosseguir.
Respostas
Claramente, cada elemento de $v\in\ell^\infty$ define um elemento do dual de $\ell^1$, já que se $v=(v_j)$ e $x=(x_j)\in\ell^1$, então $$ v(x)=\sum_j v_jx_j\quad\text{and}\quad |v(x)|\le \sum_j |v_j||x_j|\le \big(\sup_j |v_j|\big)\sum_j|x_j|=\|v\|_\infty\|x\|_1 $$ Deixei $\varphi\in(\ell^1)^*$ E definir $v_j=\varphi(e_j)$ e $v=(v_j)$. Claramente$$ |v_j|=|\varphi(e_j)|\le \|\varphi\|_*\|e_j\|_1=\|\varphi\|_* $$ e, portanto $v\in\ell^\infty$ e $\|v\|_\infty\le \|\varphi\|_\infty$. Resta mostrar que$\varphi(x)=v(x)$, para todos $x\in\ell^1$ e $\|v\|_\infty= \|\varphi\|_*$.
Claramente, $\varphi(x)=v(x)$, para $x=e_j$ e para todos $x$que são combinações lineares finitas do $e_j$'s. Eles também são funcionais lineares limitados e concordam em um subconjunto denso de$\ell^1$e, portanto, concordo em todos os lugares, ou seja, $v\equiv \varphi$.
Para a parte final, resta mostrar que $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$. Agora, para cada$\epsilon>0$, existe um vetor unitário $w=(w_j)\in\ell^1$, de tal modo que $$ |\varphi(w)|>\|\varphi\|_*-\epsilon $$ e também existe $n\in\mathbb N$, de tal modo que $\|w-w(n)\|_1<\epsilon$, Onde $w(n)=(w_1,w_2,\ldots,w_n,0,0,\ldots)$ e claramente $v(w(n))=\varphi(w(n))$. assim$$ \|v\|_\infty\ge |v(w)|\ge |v(w_n)|-|v(w-w_n)|\ge|\varphi(w_n)|-\|v\|_\infty\|w-w_n\|_1 \\ \ge |\varphi(w)|-|\varphi(w-w_n)|-\epsilon\|v\|_1 \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\|\varphi\|_*|w-w_n|_1-\epsilon\|v\|_1 \\ \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\epsilon\|\varphi\|_*-\epsilon\|v\|_1= \|\varphi\|_*-\epsilon(1+\|\varphi\|_*+\|v\|_1) $$ e isso é verdade para todos $\epsilon>0$, o que implica que $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$.